Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

La probabilidad de que un ave rapaz, que nace en un zoológico, sobreviva más de 5 años, es del 10 %.

a) Si en un zoo tenemos 10 aves rapaces nacidas este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellas sigan vivas dentro de 5 años.

b) Si entre todos los zoológicos del país hay 200 aves rapaces nacidas este mismo año, hallar la probabilidad de que, al cabo de 5 años, hayan sobrevivido más de 10 y menos de 15 de ellas.

c) Se ha hecho un seguimiento de 160 aves rapaces que viven en libertad, observándose que solo 12 de ellas han sobrevivido más de 5 años. Calcular un intervalo de confianza al 90 % para la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años.

$\textbf{a) Si en un zoo tenemos 10 aves rapaces nacidas este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellas sigan vivas dentro de 5 años.}$

Sea $X$ el número de aves que sobreviven más de 5 años. Cada ave sobrevive con probabilidad $0{,}1$ e independientemente de las demás, de modo que $X\sim B(10;0{,}1)$.

Se pasa al suceso contrario, que solo tiene dos casos.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{10}{0}0{,}1^{0}\cdot 0{,}9^{10}=0{,}3487$

$P(X=1)=\binom{10}{1}0{,}1^{1}\cdot 0{,}9^{9}=10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}3874=0{,}3874$

$P(X\geq 2)=1-0{,}3487-0{,}3874=0{,}2639$

La probabilidad de que al menos dos de las diez aves sigan vivas dentro de 5 años es $0{,}2639$.

$\textbf{b) Si entre todos los zoológicos del país hay 200 aves rapaces nacidas este mismo año, hallar la probabilidad de que, al cabo de 5 años, hayan sobrevivido más de 10 y menos de 15 de ellas.}$

Ahora $X\sim B(200;0{,}1)$.

$\mu=200\cdot 0{,}1=20 \qquad \sigma=\sqrt{200\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{18}=4{,}24$

Como $n\,p=20>5$ y $n\,q=180>5$, aproximamos por la normal $X'\sim N(20\,;\,4{,}24)$. Que sobrevivan más de 10 y menos de 15 significa entre 11 y 14, ambos incluidos.

$P(11\leq X\leq 14)\approx P(10{,}5\leq X'\leq 14{,}5)$

$=P\left(\dfrac{10{,}5-20}{4{,}24}\leq Z\leq\dfrac{14{,}5-20}{4{,}24}\right) =P(-2{,}24\leq Z\leq -1{,}30)$

Por la simetría de la campana,

$=P(1{,}30\leq Z\leq 2{,}24)=P(Z\leq 2{,}24)-P(Z\leq 1{,}30)$

$=0{,}9875-0{,}9032=0{,}0843$

La probabilidad de que sobrevivan más de 10 y menos de 15 aves es $0{,}0843$.



$\textbf{c) Se ha hecho un seguimiento de 160 aves rapaces que viven en libertad, observándose que solo 12 de ellas han sobrevivido más de 5 años. Calcular un intervalo de confianza al 90 \% para la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años.}$

Calculamos la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{12}{160}=0{,}075 \qquad \hat{q}=0{,}925$

Para una confianza del 90 % es $\alpha=0{,}1$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$E=1{,}645\sqrt{\dfrac{0{,}075\cdot 0{,}925}{160}}=1{,}645\cdot 0{,}0208=0{,}0343$

$IC_{90\%}(p)=(0{,}075-0{,}0343,\ 0{,}075+0{,}0343)=(0{,}0407,\ 0{,}1093)$

Con una confianza del 90 %, la proporción de aves rapaces en libertad que sobreviven más de 5 años está entre $0{,}0407$ y $0{,}1093$.