Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Dos modelos de relojes, A y B, se producen en una fábrica en la que hay 12 personas trabajando, cada una de ellas con una jornada laboral de 8 horas diarias. El modelo A se tarda en hacer 3 horas y por él se obtiene un beneficio de 70 euros. El modelo B se tarda en hacer 6 horas y por él se obtiene un beneficio de 160 euros. La producción diaria debe ser como mínimo de 15 relojes, con la condición de que el número de unidades del modelo B sea como máximo la mitad del número de unidades del modelo A. Para maximizar el beneficio diario:

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.

b) Representar la región factible.

c) ¿Cuántos relojes de cada tipo le interesa producir al día para obtener el máximo beneficio diario? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?

$\textbf{a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.}$

Llamamos $x$ al número de relojes del modelo A e $y$ al número de relojes del modelo B que se producen al día.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Unidades}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Modelo A } (x)$	$3x$	$x$	$70x$ $\text{Modelo B } (y)$	$6y$	$y$	$160y$ $\text{Totales}$	$3x+6y$	$x+y$	$70x+160y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio diario:

$B(x,y)=70x+160y$

Las restricciones son:

Doce personas con jornada de 8 horas dan $12\cdot 8=96$ horas diarias $\Rightarrow$ $3x+6y\leq 96 \Rightarrow x+2y\leq 32$.

La producción diaria es como mínimo de 15 relojes $\Rightarrow$ $x+y\geq 15$.

Las unidades del modelo B son como máximo la mitad de las del modelo A $\Rightarrow$ $y\leq\dfrac{x}{2} \Rightarrow x\geq 2y$.

El número de relojes no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=70x+160y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} x+2y\leq 32 \\ x+y\geq 15 \\ x\geq 2y \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible.}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{32-x}{2}$	$y=15-x$	$y=\dfrac{x}{2}$ $0$	$16$	$15$	$0$ $16$	$8$	$-1$	$8$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x+y=15$ con $y=0$ $\Rightarrow A(15,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x+y=15 \\ x=2y \end{cases} \Rightarrow 2y+y=15 \Rightarrow y=5 \Rightarrow x=10 \Rightarrow B(10,5)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} x+2y=32 \\ x=2y \end{cases} \Rightarrow 2y+2y=32 \Rightarrow y=8 \Rightarrow x=16 \Rightarrow C(16,8)$

Vértice $D$: $x+2y=32$ con $y=0$ $\Rightarrow D(32,0)$.

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(15,0)$, $B(10,5)$, $C(16,8)$ y $D(32,0)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos relojes de cada tipo le interesa producir al día para obtener el máximo beneficio diario? ¿A cuánto asciende dicho beneficio?}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos el beneficio en los vértices.

$B(15,0)=70\cdot 15=1050\ \text{€}$

$B(10,5)=70\cdot 10+160\cdot 5=700+800=1500\ \text{€}$

$B(16,8)=70\cdot 16+160\cdot 8=1120+1280=2400\ \text{€}$

$B(32,0)=70\cdot 32=2240\ \text{€}$

Interesa producir $16$ relojes del modelo A y $8$ del modelo B, con lo que el beneficio diario máximo asciende a $2400$ euros.