Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En una encuesta se pregunta a 10000 jóvenes sobre el número de botellines de cerveza que consumen a la semana, resultando una media de 5 botellines y una desviación típica de 2 botellines. Suponiendo que esta variable es normal:

a) Determinar un intervalo de confianza al 80 % para el número medio de botellines consumidos a la semana.

b) Si, para estimar el número medio de botellines de cerveza que consumen a la semana, se admite un error máximo de 0,25 botellines, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos jóvenes es necesario entrevistar?

c) Si la encuesta se realizara a 8500 jóvenes y se obtuviera la misma media de 5 botellines y, con una confianza del 82 %, se obtuviera el mismo intervalo del apartado a), ¿cuál debería ser la desviación típica?

$\textbf{a) Determinar un intervalo de confianza al 80 \% para el número medio de botellines consumidos a la semana.}$

La variable es normal, con $n=10\,000$, $\bar{x}=5$ y $\sigma=2$ botellines.

Para una confianza del 80 % es $\alpha=0{,}2$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}9$ es $z_{\alpha/2}=1{,}28$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}28\cdot\dfrac{2}{\sqrt{10\,000}} =1{,}28\cdot\dfrac{2}{100}=0{,}0256$

$IC_{80\%}(\mu)=(5-0{,}0256,\ 5+0{,}0256)=(4{,}9744,\ 5{,}0256)$

Con una confianza del 80 %, el consumo medio semanal está entre $4{,}9744$ y $5{,}0256$ botellines.



$\textbf{b) Si, para estimar el número medio de botellines de cerveza que consumen a la semana, se admite un error máximo de 0,25 botellines, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos jóvenes es necesario entrevistar?}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, con $E=0{,}25$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{1{,}645\cdot 2}{0{,}25}\right)^{2} =\left(\dfrac{3{,}29}{0{,}25}\right)^{2}=13{,}16^{2}=173{,}19$

Se toma el entero inmediatamente superior: hay que entrevistar al menos a $174$ jóvenes.

$\textbf{c) Si la encuesta se realizara a 8500 jóvenes y se obtuviera la misma media de 5 botellines y, con una confianza del 82 \%, se obtuviera el mismo intervalo del apartado a), ¿cuál debería ser la desviación típica?}$

El intervalo del apartado a) tiene error $E=0{,}0256$. Con una confianza del 82 % es $\alpha=0{,}18$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}91$ es $z_{\alpha/2}=1{,}34$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sigma=\dfrac{E\sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}$

$\sigma=\dfrac{0{,}0256\cdot\sqrt{8500}}{1{,}34} =\dfrac{0{,}0256\cdot 92{,}1954}{1{,}34}=\dfrac{2{,}3602}{1{,}34}=1{,}7614$

La desviación típica debería ser de unos $1{,}7614$ botellines.