Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

En una muestra de 150 estudiantes, de un determinado grado universitario, 90 utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

a) Determinar la proporción muestral de los estudiantes de ese grado que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

b) Determinar un intervalo de confianza al 99 % para la proporción de estudiantes de ese grado que utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.

c) Si se mantiene la proporción muestral del apartado a), para una muestra de 450 estudiantes del referido grado, ¿cuál es el intervalo de confianza al 97 % para la proporción de estudiantes que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual?

$\textbf{a) Determinar la proporción muestral de los estudiantes de ese grado que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.}$

De los 150 estudiantes de la muestra, 90 utilizan exclusivamente el campus virtual, así que los restantes son los que no lo hacen.

$150-90=60$

$\hat{q}=\dfrac{60}{150}=0{,}4$

La proporción muestral de estudiantes que no utilizan exclusivamente el campus virtual es $0{,}4$, es decir, el 40 %.

$\textbf{b) Determinar un intervalo de confianza al 99 \% para la proporción de estudiantes de ese grado que utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual.}$

Ahora la proporción muestral es la de los que sí lo utilizan.

$\hat{p}=\dfrac{90}{150}=0{,}6 \qquad \hat{q}=0{,}4$

Para una confianza del 99 % es $\alpha=0{,}01$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}995$ es $z_{\alpha/2}=2{,}575$.

$E=2{,}575\sqrt{\dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{150}}=2{,}575\sqrt{0{,}0016} =2{,}575\cdot 0{,}04=0{,}103$

$IC_{99\%}(p)=(0{,}6-0{,}103,\ 0{,}6+0{,}103)=(0{,}497,\ 0{,}703)$

Con una confianza del 99 %, la proporción de estudiantes que utilizan exclusivamente el campus virtual está entre $0{,}497$ y $0{,}703$.



$\textbf{c) Si se mantiene la proporción muestral del apartado a), para una muestra de 450 estudiantes del referido grado, ¿cuál es el intervalo de confianza al 97 \% para la proporción de estudiantes que no utilizan, exclusivamente, la información suministrada a través del correspondiente campus virtual?}$

Se trabaja ahora con $\hat{p}=0{,}4$ y $n=450$. Para una confianza del 97 % es $\alpha=0{,}03$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}985$ es $z_{\alpha/2}=2{,}17$.

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}4\cdot 0{,}6}{450}}=2{,}17\cdot 0{,}0231=0{,}0501$

$IC_{97\%}(p)=(0{,}4-0{,}0501,\ 0{,}4+0{,}0501)=(0{,}3499,\ 0{,}4501)$

Con una confianza del 97 %, la proporción de estudiantes que no utilizan exclusivamente el campus virtual está entre $0{,}3499$ y $0{,}4501$.