Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Según un determinado estudio, la probabilidad de que un cliente realice una compra, en una tienda de un centro comercial, es del 10 %. En una muestra aleatoria de 500 clientes, calcular la probabilidad de que:

a) Entre 40 y 60 clientes realicen una compra.

b) Al menos, 435 clientes no hayan comprado.

c) Al menos 45 clientes realicen una compra.

Sea $X$ el número de clientes de la muestra que realizan una compra. Cada cliente compra con probabilidad $0{,}1$ e independientemente de los demás, de modo que $X\sim B(500;0{,}1)$.

$\mu=n\,p=500\cdot 0{,}1=50 \qquad \sigma=\sqrt{n\,p\,q}=\sqrt{500\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9}=\sqrt{45}=6{,}71$

Como $n\,p=50>5$ y $n\,q=450>5$, la binomial se aproxima por la normal $X'\sim N(50\,;\,6{,}71)$, con corrección de continuidad.

$\textbf{a) Entre 40 y 60 clientes realicen una compra.}$

$P(40\leq X\leq 60)\approx P(39{,}5\leq X'\leq 60{,}5)$

$=P\left(\dfrac{39{,}5-50}{6{,}71}\leq Z\leq\dfrac{60{,}5-50}{6{,}71}\right) =P(-1{,}57\leq Z\leq 1{,}57)$

$=2\cdot P(Z\leq 1{,}57)-1=2\cdot 0{,}9418-1=0{,}8836$

La probabilidad de que entre 40 y 60 clientes realicen una compra es $0{,}8836$.



$\textbf{b) Al menos, 435 clientes no hayan comprado.}$

Que al menos 435 de los 500 clientes no compren equivale a que como mucho $500-435=65$ sí compren, así que seguimos trabajando con la misma variable.

$P(X\leq 65)\approx P(X'\leq 65{,}5) =P\left(Z\leq\dfrac{65{,}5-50}{6{,}71}\right)=P(Z\leq 2{,}31)$

$=0{,}9896$

La probabilidad de que al menos 435 clientes no hayan comprado es $0{,}9896$.

$\textbf{c) Al menos 45 clientes realicen una compra.}$

$P(X\geq 45)\approx P(X'\geq 44{,}5) =P\left(Z\geq\dfrac{44{,}5-50}{6{,}71}\right)=P(Z\geq -0{,}82)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\geq -0{,}82)=P(Z\leq 0{,}82)=0{,}7939$

La probabilidad de que al menos 45 clientes realicen una compra es $0{,}7939$.