Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

En un aeropuerto operan tres líneas aéreas: LAVOLONA, NUBERIA y BRINKEN. El 30 % de las llegadas diarias corresponden a la compañía LAVOLONA, el 25 % a NUBERIA y el resto a BRINKEN. La proporción de vuelos que llegan con retraso es del 5 % para los de LAVOLONA, el 8 % para los de NUBERIA y el 12 % para los de BRINKEN.

a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades.

b) Se ha ido a recoger un pasajero al aeropuerto y el avión llega con retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión pertenezca a la compañía NUBERIA?

c) Suponiendo que los retrasos se producen independientemente unos de otros, si los dos próximos aterrizajes corresponden a sendos aviones de la compañía BRINKEN, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos llegue con retraso?

$\textbf{a) Dibujar el correspondiente árbol de probabilidades.}$

Nombramos los sucesos:

$L\equiv$ el avión es de LAVOLONA,
$N\equiv$ el avión es de NUBERIA,
$B\equiv$ el avión es de BRINKEN,
$R\equiv$ el avión llega con retraso,
$\overline{R}\equiv$ el avión llega puntual.

Las tres compañías forman un sistema completo de sucesos. Como LAVOLONA se lleva el 30 % de las llegadas y NUBERIA el 25 %, a BRINKEN le corresponde el resto:

$P(B)=1-0{,}30-0{,}25=0{,}45$



$\textbf{b) Se ha ido a recoger un pasajero al aeropuerto y el avión llega con retraso. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión pertenezca a la compañía NUBERIA?}$

Calculamos primero la probabilidad de retraso aplicando el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(L)\cdot P(R/L)+P(N)\cdot P(R/N)+P(B)\cdot P(R/B)$

$P(R)=0{,}30\cdot 0{,}05+0{,}25\cdot 0{,}08+0{,}45\cdot 0{,}12$

$P(R)=0{,}015+0{,}02+0{,}054=0{,}089$

Se trata de una probabilidad a posteriori, así que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(N/R)=\dfrac{P(N)\cdot P(R/N)}{P(R)}=\dfrac{0{,}02}{0{,}089} =\dfrac{20}{89}\approx 0{,}2247$

Sabiendo que el avión llega con retraso, la probabilidad de que sea de NUBERIA es $\dfrac{20}{89}\approx 0{,}2247$.

$\textbf{c) Suponiendo que los retrasos se producen independientemente unos de otros, si los dos próximos aterrizajes corresponden a sendos aviones de la compañía BRINKEN, ¿cuál es la probabilidad de que alguno de ellos llegue con retraso?}$

Para un avión de BRINKEN la probabilidad de retraso es $0{,}12$ y la de llegar puntual $0{,}88$. Pasamos al suceso contrario: que ninguno de los dos se retrase.

$P(\text{alguno con retraso})=1-P(\text{los dos puntuales})=1-0{,}88\cdot 0{,}88$

$=1-0{,}7744=0{,}2256$

La probabilidad de que alguno de los dos aviones de BRINKEN llegue con retraso es $0{,}2256$.