Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una finca dispone de 1500 kilogramos de frutas y 1755 kilogramos de verduras para vender. Como estrategia comercial, oferta dos lotes: el lote A, que consiste en dos kilogramos de frutas y tres kilogramos de verduras, a 18 euros; el lote B, que consiste en 3 kilogramos de frutas y 3 de verduras, a 20 euros. Si ha de vender al menos 150 lotes del tipo A y al menos 180 del tipo B:

a) Plantear el correspondiente problema de programación lineal. [0,75 puntos]

b) Dibujar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [1 punto]

c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se han de vender de cada tipo? ¿Cuál sería la recaudación máxima? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantear el correspondiente problema de programación lineal. [0,75 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de lotes del tipo A e $y$ al número de lotes del tipo B que se venden.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Frutas (kg)}$	$\text{Verduras (kg)}$	$\text{Recaudación (€)}$ $\text{Lote A } (x)$	$2x$	$3x$	$18x$ $\text{Lote B } (y)$	$3y$	$3y$	$20y$ $\text{Totales}$	$2x+3y$	$3x+3y$	$18x+20y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es la recaudación:

$R(x,y)=18x+20y$

Las restricciones son:

Se dispone de 1500 kg de frutas $\Rightarrow$ $2x+3y\leq 1500$.

Se dispone de 1755 kg de verduras $\Rightarrow$ $3x+3y\leq 1755 \Rightarrow x+y\leq 585$.

Hay que vender al menos 150 lotes A y al menos 180 lotes B $\Rightarrow$ $x\geq 150$, $y\geq 180$.

$\text{Maximizar } R(x,y)=18x+20y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 2x+3y\leq 1500 \\ x+y\leq 585 \\ x\geq 150;\ y\geq 180 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibujar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [1 punto]}$

Dibujamos las cuatro rectas frontera; para las dos oblicuas usamos sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{1500-2x}{3}$	$y=585-x$ $150$	$400$	$435$ $255$	$330$	$330$

Los vértices se obtienen cortando las rectas dos a dos.

Vértice $A$: $x=150$ con $y=180$ $\Rightarrow A(150,180)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=150 \\ 2x+3y=1500 \end{cases} \Rightarrow 3y=1500-300=1200 \Rightarrow y=400 \Rightarrow B(150,400)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 2x+3y=1500 \\ x+y=585 \end{cases} \Rightarrow x=585-y$

$2(585-y)+3y=1500 \Rightarrow 1170+y=1500 \Rightarrow y=330 \Rightarrow x=255 \Rightarrow C(255,330)$

Vértice $D$:

$\begin{cases} y=180 \\ x+y=585 \end{cases} \Rightarrow x=405 \Rightarrow D(405,180)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $A(150,180)$, $B(150,400)$, $C(255,330)$ y $D(405,180)$.

$\textbf{c) Para maximizar la recaudación, ¿cuántos lotes se han de vender de cada tipo? ¿Cuál sería la recaudación máxima? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos la recaudación en los vértices.

$R(150,180)=18\cdot 150+20\cdot 180=2700+3600=6300\ \text{€}$

$R(150,400)=18\cdot 150+20\cdot 400=2700+8000=10\,700\ \text{€}$

$R(255,330)=18\cdot 255+20\cdot 330=4590+6600=11\,190\ \text{€}$

$R(405,180)=18\cdot 405+20\cdot 180=7290+3600=10\,890\ \text{€}$

Se han de vender $255$ lotes del tipo A y $330$ del tipo B, con lo que la recaudación máxima es de $11\,190$ euros.