Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La rentabilidad (en %) de un fondo de inversión inmobiliario se obtiene mediante la función:

$R(t) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}t^2 + 3t + 1, & t \le 4 \\[6pt] \dfrac{t + 111}{5t + 3}, & t > 4 \end{cases}$

donde $t$ es el tiempo (en años) que el dinero permanece invertido en el fondo.

a) ¿Es continua la función de rentabilidad? Justifica la respuesta. [0,75 puntos]

b) ¿Cuándo crece y cuándo decrece esta función? Justifica la respuesta. ¿Para qué valor de $t$ se alcanza la rentabilidad máxima? ¿Cuánto vale dicha rentabilidad? Representa gráficamente la función. [1,25 puntos]

c) El fondo de inversión garantiza que, para tiempos superiores a 25 años, la inversión siempre tendrá un retorno superior al 0,2 %. ¿Es cierta la afirmación del fondo? Justifica la respuesta. [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿Es continua la función de rentabilidad? Justifica la respuesta. [0,75 puntos]}$

El primer trozo es una función polinómica, continua en todo su dominio. El segundo es una función racional cuyo denominador se anula en $t=-\dfrac{3}{5}$, valor que no pertenece al intervalo $t>4$, de modo que también es continua ahí. Solo queda estudiar el empalme $t=4$.

$\lim_{t\to 4^{-}}R(t)=-\dfrac{1}{2}\cdot 16+3\cdot 4+1=-8+12+1=5$

$\lim_{t\to 4^{+}}R(t)=\dfrac{4+111}{5\cdot 4+3}=\dfrac{115}{23}=5$

Como $R(4)=5$ y los dos límites laterales valen $5$, la función de rentabilidad es continua en todo su dominio.

$\textbf{b) ¿Cuándo crece y cuándo decrece esta función? Justifica la respuesta. ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ se alcanza la rentabilidad máxima? ¿Cuánto vale dicha rentabilidad? Representa gráficamente la función. [1,25 puntos]}$

Derivamos cada trozo.

$R'(t)=\begin{cases} -t+3, & t<4 \\[6pt] \dfrac{(5t+3)-5(t+111)}{(5t+3)^{2}}=\dfrac{-552}{(5t+3)^{2}}, & t>4 \end{cases}$

En el primer trozo, $-t+3=0 \Rightarrow t=3$. En el segundo, el numerador es la constante negativa $-552$ y el denominador un cuadrado, de modo que la derivada es siempre negativa y la función siempre decrece.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=1$, $R'(1)=-1+3=2>0$: la rentabilidad crece.
Si $t=3{,}5$, $R'(3{,}5)=-3{,}5+3=-0{,}5<0$: la rentabilidad decrece.
Si $t=5$, $R'(5)=\dfrac{-552}{28^{2}}<0$: la rentabilidad decrece.



La rentabilidad crece en $(0,3)$ y decrece en $(3,+\infty)$, de modo que presenta un máximo en $t=3$.

$R(3)=-\dfrac{1}{2}\cdot 9+3\cdot 3+1=-4{,}5+9+1=5{,}5$

La rentabilidad máxima se alcanza a los $3$ años y vale $5{,}5$ %.

Para representar la función se añade el comportamiento en el infinito del segundo trozo:

$\lim_{t\to+\infty}\dfrac{t+111}{5t+3}=\dfrac{1}{5}=0{,}2$

de modo que la recta $y=0{,}2$ es asíntota horizontal.



$\textbf{c) El fondo de inversión garantiza que, para tiempos superiores a 25 años, la inversión siempre tendrá un retorno superior al 0,2 \%. ¿Es cierta la afirmación del fondo? Justifica la respuesta. [0,5 puntos]}$

Para $t>25$ estamos en el segundo trozo. Comparamos la función con el valor $0{,}2=\dfrac{1}{5}$.

$\dfrac{t+111}{5t+3}-\dfrac{1}{5} =\dfrac{5(t+111)-(5t+3)}{5(5t+3)} =\dfrac{5t+555-5t-3}{5(5t+3)} =\dfrac{552}{5(5t+3)}$

Para todo $t>25$ el denominador es positivo y el numerador también, así que la diferencia es siempre positiva.

$R(t)>0{,}2 \quad\text{para todo } t>25$

La afirmación del fondo es cierta: la función decrece acercándose a la asíntota horizontal $y=0{,}2$, pero siempre por encima de ella, de modo que el retorno nunca baja del 0,2 %.