Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Una empresa de reparto de comida a domicilio quiere estudiar el tiempo que tardan sus repartidores en entregar los pedidos. Se estudió una muestra de 200 pedidos y se obtuvo el intervalo de confianza $[16{,}84,\ 18{,}16]$ para el tiempo medio, en minutos, que tardan los repartidores en entregar la comida desde el momento en que la recogen en los locales. Sabiendo que la desviación típica es 4 minutos, calcula:

a) ¿Cuál fue el tiempo medio obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con el que se obtuvo el intervalo? [1,25 puntos]

b) Si un día se hicieron 425 repartos, utilizando la estimación puntual obtenida en el apartado anterior para la media, calcula la probabilidad de que el tiempo medio de entrega de los pedidos sea superior a 18 minutos. [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál fue el tiempo medio obtenido en la muestra? ¿Cuál fue el error de estimación cometido? ¿Cuál fue el nivel de confianza con el que se obtuvo el intervalo? [1,25 puntos]}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, de modo que ésta es su centro y el error de estimación su semiamplitud.

$\bar{x}=\dfrac{16{,}84+18{,}16}{2}=17{,}5\ \text{minutos}$

$E=\dfrac{18{,}16-16{,}84}{2}=0{,}66\ \text{minutos}$

De la fórmula del error se despeja el valor crítico.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow z_{\alpha/2}=\dfrac{E\sqrt{n}}{\sigma}=\dfrac{0{,}66\cdot\sqrt{200}}{4} =\dfrac{0{,}66\cdot 14{,}1421}{4}=2{,}33$

Buscando $2{,}33$ en la tabla de la $N(0,1)$ se obtiene $P(Z\leq 2{,}33)=0{,}9901$, de donde

$1-\alpha=2\cdot 0{,}9901-1=0{,}9802$

La media muestral fue de $17{,}5$ minutos, el error de estimación $0{,}66$ minutos y el nivel de confianza del $98$ %.



$\textbf{b) Si un día se hicieron 425 repartos, utilizando la estimación puntual obtenida en el apartado anterior para la media, calcula la probabilidad de que el tiempo medio de entrega de los pedidos sea superior a 18 minutos. [1,25 puntos]}$

Con $\mu=17{,}5$, $\sigma=4$ y $n=425$, la media muestral se distribuye

$\bar{X}\sim N\left(17{,}5,\dfrac{4}{\sqrt{425}}\right)=N(17{,}5\,;\,0{,}194)$

$P(\bar{X}>18)=P\left(Z>\dfrac{18-17{,}5}{0{,}194}\right)=P(Z>2{,}58)$

$=1-P(Z\leq 2{,}58)=1-0{,}9951=0{,}0049$

La probabilidad de que el tiempo medio de entrega de los 425 repartos supere los 18 minutos es $0{,}0049$.