Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Los datos recogidos en un estudio sobre la movilidad en Canarias indican que la distancia recorrida cada mes, por un coche destinado a uso particular, sigue una distribución normal de media 1200 km y desviación típica 230 km.

a) Se elige un coche al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes recorra más de 1000 km? [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 36 coches, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes la distancia media recorrida por estos coches esté entre 1150 y 1250 km? [1 punto]

c) En esa muestra, ¿cuál es el número esperado de coches que recorrerán más de 1300 km? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Se elige un coche al azar, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes recorra más de 1000 km? [0,75 puntos]}$

La distancia mensual es $X\sim N(1200,230)$.

$P(X>1000)=P\left(Z>\dfrac{1000-1200}{230}\right)=P(Z>-0{,}87)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z>-0{,}87)=P(Z<0{,}87)=0{,}8078$

La probabilidad de que un coche recorra más de 1000 km en un mes es $0{,}8078$.

$\textbf{b) Si se toma una muestra de 36 coches, ¿cuál es la probabilidad de que en un mes la distancia media recorrida por estos coches esté entre 1150 y 1250 km? [1 punto]}$

Para una muestra de tamaño $n=36$ de una población normal,

$\bar{X}\sim N\left(1200,\dfrac{230}{\sqrt{36}}\right)=N(1200\,;\,38{,}33)$

$P(1150<\bar{X}<1250) =P\left(\dfrac{1150-1200}{38{,}33}<Z<\dfrac{1250-1200}{38{,}33}\right)$

$=P(-1{,}30<Z<1{,}30)=2\cdot P(Z<1{,}30)-1$

$=2\cdot 0{,}9032-1=0{,}8064$

La probabilidad de que la distancia media de los 36 coches esté entre 1150 y 1250 km es $0{,}8064$.



$\textbf{c) En esa muestra, ¿cuál es el número esperado de coches que recorrerán más de 1300 km? [0,75 puntos]}$

Se vuelve a la variable individual para calcular la proporción de coches que superan los 1300 km.

$P(X>1300)=P\left(Z>\dfrac{1300-1200}{230}\right)=P(Z>0{,}43)$

$=1-P(Z\leq 0{,}43)=1-0{,}6664=0{,}3336$

$36\cdot 0{,}3336=12{,}01$

Se espera que unos $12$ de los 36 coches de la muestra recorran más de 1300 km al mes.