Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En una determinada ciudad, el precio del alquiler mensual de pisos de dos habitaciones sigue una distribución normal de media 725 euros con una desviación típica de 50 euros.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que alquilar uno de estos pisos cueste cada mes, a lo sumo, 700 euros? [0,75 puntos]

b) En un determinado mes, una agencia inmobiliaria alquila 25 de los pisos anteriormente mencionados. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio de alquiler mensual supere los 730 euros? [0,75 puntos]

c) De los 25 pisos alquilados por la agencia en ese mes, ¿cuántos se puede esperar que cuesten menos de 710 euros cada mes? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que alquilar uno de estos pisos cueste cada mes, a lo sumo, 700 euros? [0,75 puntos]}$

El precio de alquiler es $X\sim N(725,50)$. Tipificamos y usamos la tabla de la normal estándar.

$P(X\leq 700)=P\left(Z\leq\dfrac{700-725}{50}\right)=P(Z\leq -0{,}5)$

Por la simetría de la campana,

$P(Z\leq -0{,}5)=1-P(Z\leq 0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$

La probabilidad de que el alquiler cueste como mucho 700 euros al mes es $0{,}3085$.



$\textbf{b) En un determinado mes, una agencia inmobiliaria alquila 25 de los pisos anteriormente mencionados. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio medio de alquiler mensual supere los 730 euros? [0,75 puntos]}$

Ahora la variable es la media de una muestra de tamaño $n=25$ tomada de una población normal.

$\bar{X}\sim N\left(725,\dfrac{50}{\sqrt{25}}\right)=N(725,10)$

$P(\bar{X}>730)=P\left(Z>\dfrac{730-725}{10}\right)=P(Z>0{,}5)$

$=1-P(Z\leq 0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$

La probabilidad de que el precio medio de los 25 alquileres supere los 730 euros es $0{,}3085$.

$\textbf{c) De los 25 pisos alquilados por la agencia en ese mes, ¿cuántos se puede esperar que cuesten menos de 710 euros cada mes? [1 punto]}$

Volvemos a la variable individual $X\sim N(725,50)$ y calculamos la proporción de pisos por debajo de 710 euros.

$P(X<710)=P\left(Z<\dfrac{710-725}{50}\right)=P(Z<-0{,}3)$

$=1-P(Z\leq 0{,}3)=1-0{,}6179=0{,}3821$

El número esperado de pisos es esa proporción multiplicada por el tamaño del grupo.

$25\cdot 0{,}3821=9{,}5525$

Se puede esperar que unos $10$ de los 25 pisos cuesten menos de 710 euros al mes.