Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una jugadora de ajedrez ha conseguido premios en 51 de los torneos en los que ha participado a lo largo de su vida. Los torneos han sido locales, nacionales e internacionales. El número de torneos locales en los que ha jugado ha sido el doble de los nacionales; además, por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales. Los torneos en los que ha conseguido premio representan un 30 % de todos los torneos en los que ha participado.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿En cuántos torneos de cada clase ha participado esta jugadora? [1 punto]

$\textbf{a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de torneos locales, $y$ al de nacionales y $z$ al de internacionales en los que ha participado la jugadora.

El número de torneos locales es el doble de los nacionales $\Rightarrow$ $x=2y$.

Por cada cinco torneos nacionales ha participado en dos internacionales $\Rightarrow$ $\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{2} \Rightarrow 2y=5z$.

Los 51 torneos con premio son el 30 % del total $\Rightarrow$ $0{,}3(x+y+z)=51$.

$\begin{cases} x-2y=0 \\ 2y-5z=0 \\ 0{,}3(x+y+z)=51 \end{cases}$

$\textbf{b) ¿En cuántos torneos de cada clase ha participado esta jugadora? [1 punto]}$

De la tercera ecuación se obtiene directamente el número total de torneos.

$x+y+z=\dfrac{51}{0{,}3}=170$

Escribimos $x$ y $z$ en función de $y$ y sustituimos.

$x=2y \qquad z=\dfrac{2y}{5}$

$2y+y+\dfrac{2y}{5}=170 \Rightarrow \dfrac{10y+5y+2y}{5}=170 \Rightarrow 17y=850 \Rightarrow y=50$

$x=2\cdot 50=100 \qquad z=\dfrac{2\cdot 50}{5}=20$

Comprobamos: $100+50+20=170$ y el 30 % de 170 es $51$ torneos con premio.

La jugadora ha participado en $100$ torneos locales, $50$ nacionales y $20$ internacionales.