Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

En una fábrica, en la que se producen mesas y estanterías, se dispone de un total de 150 metros cuadrados de madera y 90 horas de mano de obra. Para fabricar una mesa se necesitan 3 metros cuadrados de madera y 1 hora de mano de obra y para fabricar una estantería se necesitan 4 metros cuadrados de madera y 3 horas de mano de obra. La fábrica obtiene un beneficio de 160 € por la producción de cada mesa, y de 225 € por cada estantería.

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal. [0,75 puntos]

b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántos muebles de cada tipo se deben fabricar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Formular el correspondiente problema de programación lineal. [0,75 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de mesas e $y$ al número de estanterías que se fabrican.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Madera (m}^2\text{)}$	$\text{Mano de obra (h)}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Mesas } (x)$	$3x$	$x$	$160x$ $\text{Estanterías } (y)$	$4y$	$3y$	$225y$ $\text{Totales}$	$3x+4y$	$x+3y$	$160x+225y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=160x+225y$

Las restricciones son:

Se dispone de 150 metros cuadrados de madera $\Rightarrow$ $3x+4y\leq 150$.

Se dispone de 90 horas de mano de obra $\Rightarrow$ $x+3y\leq 90$.

El número de muebles no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=160x+225y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 3x+4y\leq 150 \\ x+3y\leq 90 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [1 punto]}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{150-3x}{4}$	$y=\dfrac{90-x}{3}$ $0$	$37{,}5$	$30$ $18$	$24$	$24$

El único vértice que exige resolver un sistema es el corte de las dos rectas.

$\begin{cases} 3x+4y=150 \\ x+3y=90 \end{cases} \Rightarrow x=90-3y$

$3(90-3y)+4y=150 \Rightarrow 270-9y+4y=150 \Rightarrow -5y=-120 \Rightarrow y=24$

$x=90-3\cdot 24=18 \Rightarrow B(18,24)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,30)$, $B(18,24)$ y $C(50,0)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos muebles de cada tipo se deben fabricar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, evaluamos la función objetivo en los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(0,30)=225\cdot 30=6750\ \text{€}$

$B(18,24)=160\cdot 18+225\cdot 24=2880+5400=8280\ \text{€}$

$B(50,0)=160\cdot 50=8000\ \text{€}$

Se deben fabricar $18$ mesas y $24$ estanterías, con lo que el beneficio máximo es de $8280$ euros.