Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La producción de energía en Kw de un panel solar, orientado hacia el sur, durante las horas del día, viene dada por la función:

$P(t) = \begin{cases} -\dfrac{4}{25}(t - 7)(t - 17) & \text{si } 7 \le t \le 14 \\[6pt] \dfrac{3}{25}(-7t + 126) & \text{si } 14 < t \le 18 \end{cases}$

a) Justificando las respuestas, explica si es continua y derivable. [0,75 puntos]

b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la producción de energía durante el día. ¿A qué hora se alcanzó la máxima producción de energía y a cuánto ascendió? [1 punto]

c) ¿A qué hora se superaron por primera vez los 3 Kw de producción? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Justificando las respuestas, explica si es continua y derivable. [0,75 puntos]}$

Los dos trozos son funciones polinómicas, continuas y derivables en todo su dominio, de modo que basta estudiar el empalme $t=14$.

$\lim_{t\to 14^{-}}P(t)=-\dfrac{4}{25}(14-7)(14-17)=-\dfrac{4}{25}\cdot 7\cdot(-3) =\dfrac{84}{25}=3{,}36$

$\lim_{t\to 14^{+}}P(t)=\dfrac{3}{25}(-7\cdot 14+126)=\dfrac{3}{25}\cdot 28 =\dfrac{84}{25}=3{,}36$

Como $P(14)=3{,}36$ y los dos límites laterales coinciden, la función es continua en $t=14$ y, por tanto, en todo el intervalo $[7,18]$.

Para la derivabilidad desarrollamos el primer trozo y derivamos cada uno.

$P(t)=-\dfrac{4}{25}(t^{2}-24t+119) \Rightarrow P'(t)=-\dfrac{4}{25}(2t-24)$

$P'(14^{-})=-\dfrac{4}{25}(28-24)=-\dfrac{16}{25}=-0{,}64 \qquad P'(14^{+})=\dfrac{3}{25}\cdot(-7)=-\dfrac{21}{25}=-0{,}84$

Las derivadas laterales son distintas, luego la función no es derivable en $t=14$: es derivable en $[7,18]$ salvo en ese punto.

$\textbf{b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la producción de energía durante el día. ¿A qué hora se alcanzó la máxima producción de energía y a cuánto ascendió? [1 punto]}$

Buscamos los puntos críticos en cada tramo.

$-\dfrac{4}{25}(2t-24)=0 \Rightarrow 2t=24 \Rightarrow t=12 \in [7,14)$

En el segundo tramo la derivada es la constante $-0{,}84<0$: la función siempre decrece ahí.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=10$, $P'(10)=-\dfrac{4}{25}(20-24)=\dfrac{16}{25}>0$: la producción crece.
Si $t=13$, $P'(13)=-\dfrac{4}{25}(26-24)=-\dfrac{8}{25}<0$: la producción decrece.
Si $t=16$, $P'(16)=-0{,}84<0$: la producción decrece.



La producción crece de las 7 a las 12 horas y decrece de las 12 a las 18 horas, con un máximo en $t=12$.

$P(12)=-\dfrac{4}{25}(12-7)(12-17)=-\dfrac{4}{25}\cdot 5\cdot(-5)=4$

La máxima producción se alcanzó a las 12 horas y fue de $4$ Kw.



$\textbf{c) ¿A qué hora se superaron por primera vez los 3 Kw de producción? [0,75 puntos]}$

Como la producción crece desde las 7 hasta las 12 horas y en $t=7$ vale $0$, la primera vez que se superan los 3 Kw ocurre en el primer tramo. Resolvemos la ecuación.

$-\dfrac{4}{25}(t-7)(t-17)=3 \Rightarrow (t-7)(t-17)=-\dfrac{75}{4}$

$t^{2}-24t+119=-18{,}75 \Rightarrow t^{2}-24t+137{,}75=0$

$t=\dfrac{24\pm\sqrt{576-551}}{2}=\dfrac{24\pm\sqrt{25}}{2}=\dfrac{24\pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=9{,}5 \\ t=14{,}5 \end{cases}$

Se descarta $t=14{,}5$ porque no pertenece al primer tramo, donde solo se admiten valores menores que 14; además corresponde a un instante posterior.

Los 3 Kw de producción se superaron por primera vez a las $9{,}5$ horas, es decir, a las 9:30 de la mañana.