Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Se desea estimar la cantidad media de emisiones de dióxido de carbono (CO₂) por vehículo en una ciudad. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 100 vehículos y se encuentra que la cantidad media de CO₂ emitida por vehículo es de 150 g/km, con una desviación típica de 25 g/km. Suponiendo que esta variable es normal:

a) Determinar un intervalo de confianza del 95 % para la cantidad media de CO₂ emitida por vehículo en la ciudad. [0,75 puntos]

b) Si se admite un error máximo de 3,5 g/km, para estimar la cantidad media de CO₂ emitida por vehículo, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos vehículos es necesario medir la cantidad de CO₂? [1 punto]

c) Si la medición se realizara a 75 vehículos y se obtuviera la misma media de 150 g/km y el mismo intervalo del apartado a), con una confianza del 86 %, ¿cuál debería ser la desviación típica? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determinar un intervalo de confianza del 95 \% para la cantidad media de CO₂ emitida por vehículo en la ciudad. [0,75 puntos]}$

La variable es normal y la muestra tiene $n=100$ vehículos, con $\bar{x}=150$ g/km y $\sigma=25$ g/km.

Para una confianza del 95 % es $z_{\alpha/2}=1{,}96$, el valor que deja a su izquierda $0{,}975$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{25}{\sqrt{100}} =1{,}96\cdot 2{,}5=4{,}9$

$IC_{95\%}(\mu)=(150-4{,}9,\ 150+4{,}9)=(145{,}1,\ 154{,}9)$

Con una confianza del 95 %, la emisión media está entre $145{,}1$ y $154{,}9$ g/km.



$\textbf{b) Si se admite un error máximo de 3,5 g/km, para estimar la cantidad media de CO₂ emitida por vehículo, con un nivel de confianza igual a 0,9 y manteniendo la desviación típica inicial, ¿a cuántos vehículos es necesario medir la cantidad de CO₂? [1 punto]}$

Se despeja el tamaño muestral, ahora con $E=3{,}5$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$.

$n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2} =\left(\dfrac{1{,}645\cdot 25}{3{,}5}\right)^{2} =\left(\dfrac{41{,}125}{3{,}5}\right)^{2}=11{,}75^{2}=138{,}06$

Se toma el entero inmediatamente superior: hay que medir la emisión de al menos $139$ vehículos.

$\textbf{c) Si la medición se realizara a 75 vehículos y se obtuviera la misma media de 150 g/km y el mismo intervalo del apartado a), con una confianza del 86 \%, ¿cuál debería ser la desviación típica? [0,75 puntos]}$

El intervalo del apartado a) tiene error $E=4{,}9$. Con una confianza del 86 % es $\alpha=0{,}14$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}93$ es $z_{\alpha/2}=1{,}48$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sigma=\dfrac{E\sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}$

$\sigma=\dfrac{4{,}9\cdot\sqrt{75}}{1{,}48}=\dfrac{4{,}9\cdot 8{,}6603}{1{,}48} =\dfrac{42{,}4353}{1{,}48}=28{,}67$

La desviación típica debería ser de unos $28{,}67$ g/km.