Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Por motivos de ajustes presupuestarios, una empresa multinacional de trabajo a distancia debe despedir al 10 % de sus trabajadores.

a) En una ciudad hay 10 trabajadores a distancia de esa empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 sean despedidos? [0,75 puntos]

b) En España hay 300 trabajadores a distancia de la citada empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 280 conserven su empleo? [0,75 puntos]

c) Temiendo posibles conflictos laborales, la dirección de la empresa selecciona una muestra aleatoria de 400 de sus trabajadores a distancia, de los que 50 optarían por un despido voluntario incentivado. Hallar un intervalo de confianza al 97 % para la proporción de trabajadores a distancia de la empresa que optarían por un despido voluntario incentivado. [1 punto]

$\textbf{a) En una ciudad hay 10 trabajadores a distancia de esa empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que, a lo sumo, 3 sean despedidos? [0,75 puntos]}$

Sea $X$ el número de despedidos entre los 10 trabajadores. Cada uno es despedido con probabilidad $0{,}1$ e independientemente de los demás, así que $X\sim B(10;0{,}1)$.

$P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$

$P(X=0)=\binom{10}{0}0{,}1^{0}\cdot 0{,}9^{10}=0{,}3487$

$P(X=1)=\binom{10}{1}0{,}1^{1}\cdot 0{,}9^{9}=10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}3874=0{,}3874$

$P(X=2)=\binom{10}{2}0{,}1^{2}\cdot 0{,}9^{8}=45\cdot 0{,}01\cdot 0{,}4305=0{,}1937$

$P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}1^{3}\cdot 0{,}9^{7}=120\cdot 0{,}001\cdot 0{,}4783=0{,}0574$

$P(X\leq 3)=0{,}3487+0{,}3874+0{,}1937+0{,}0574=0{,}9872$

La probabilidad de que como mucho 3 de los 10 trabajadores sean despedidos es $0{,}9872$.

$\textbf{b) En España hay 300 trabajadores a distancia de la citada empresa. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 280 conserven su empleo? [0,75 puntos]}$

Sea $Y$ el número de trabajadores que conservan el empleo, con $Y\sim B(300;0{,}9)$.

$\mu=300\cdot 0{,}9=270 \qquad \sigma=\sqrt{300\cdot 0{,}9\cdot 0{,}1}=\sqrt{27}=5{,}20$

Como $n\,p=270>5$ y $n\,q=30>5$, aproximamos por la normal $Y'\sim N(270\,;\,5{,}20)$ con corrección de continuidad.

$P(Y\geq 280)\approx P(Y'\geq 279{,}5) =P\left(Z\geq\dfrac{279{,}5-270}{5{,}20}\right)=P(Z\geq 1{,}83)$

$=1-P(Z<1{,}83)=1-0{,}9664=0{,}0336$

La probabilidad de que al menos 280 trabajadores conserven su empleo es $0{,}0336$.



$\textbf{c) Temiendo posibles conflictos laborales, la dirección de la empresa selecciona una muestra aleatoria de 400 de sus trabajadores a distancia, de los que 50 optarían por un despido voluntario incentivado. Hallar un intervalo de confianza al 97 \% para la proporción de trabajadores a distancia de la empresa que optarían por un despido voluntario incentivado. [1 punto]}$

Calculamos la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{50}{400}=0{,}125 \qquad \hat{q}=0{,}875$

Para una confianza del 97 % es $\alpha=0{,}03$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}985$ es $z_{\alpha/2}=2{,}17$.

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}125\cdot 0{,}875}{400}}=2{,}17\cdot 0{,}0165=0{,}0359$

$IC_{97\%}(p)=(0{,}125-0{,}0359,\ 0{,}125+0{,}0359)=(0{,}0891,\ 0{,}1609)$

Con una confianza del 97 %, la proporción de trabajadores que optarían por el despido voluntario incentivado está entre $0{,}0891$ y $0{,}1609$.