Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Según estudios recientes sobre el impacto de la IA (Inteligencia Artificial) en la educación, el 73 % del profesorado ya ha utilizado herramientas de IA en algunas ocasiones. Si en un determinado departamento de la universidad hay 30 profesores:

a) Calcula la probabilidad de que no hayan utilizado herramientas de IA entre 10 y 15 profesores. [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 profesores hayan utilizado la IA? [1 punto]

c) Si el número aproximado de profesores que imparte clase en una determinada facultad es de 80, ¿cuántos se espera que hayan utilizado aplicaciones de IA en su trabajo? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcula la probabilidad de que no hayan utilizado herramientas de IA entre 10 y 15 profesores. [1 punto]}$

Sea $Y$ el número de profesores del departamento que no han utilizado herramientas de IA. Como cada profesor las ha usado o no de forma independiente y con probabilidad constante, $Y\sim B(30;0{,}27)$, ya que $1-0{,}73=0{,}27$.

$\mu=n\,p=30\cdot 0{,}27=8{,}1 \qquad \sigma=\sqrt{n\,p\,q}=\sqrt{30\cdot 0{,}27\cdot 0{,}73}=\sqrt{5{,}913}=2{,}43$

Como $n\,p=8{,}1>5$ y $n\,q=21{,}9>5$, la binomial se aproxima por la normal $Y'\sim N(8{,}1\,;\,2{,}43)$, aplicando la corrección de continuidad.

$P(10\leq Y\leq 15)\approx P(9{,}5\leq Y'\leq 15{,}5)$

$=P\left(\dfrac{9{,}5-8{,}1}{2{,}43}\leq Z\leq\dfrac{15{,}5-8{,}1}{2{,}43}\right) =P(0{,}58\leq Z\leq 3{,}04)$

$=P(Z\leq 3{,}04)-P(Z\leq 0{,}58)=0{,}9988-0{,}7190=0{,}2798$

La probabilidad de que entre 10 y 15 profesores no hayan utilizado herramientas de IA es $0{,}2798$.



$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 10 profesores hayan utilizado la IA? [1 punto]}$

Ahora la variable es $X$, el número de profesores que sí han utilizado la IA, con $X\sim B(30;0{,}73)$.

$\mu=30\cdot 0{,}73=21{,}9 \qquad \sigma=\sqrt{30\cdot 0{,}73\cdot 0{,}27}=2{,}43$

$P(X<10)=P(X\leq 9)\approx P(X'\leq 9{,}5) =P\left(Z\leq\dfrac{9{,}5-21{,}9}{2{,}43}\right)=P(Z\leq -5{,}10)$

El valor tipificado queda más de cinco desviaciones típicas por debajo de la media, fuera del alcance de la tabla.

$P(X<10)\approx 0$

La probabilidad de que menos de 10 profesores del departamento hayan utilizado la IA es prácticamente nula.

$\textbf{c) Si el número aproximado de profesores que imparte clase en una determinada facultad es de 80, ¿cuántos se espera que hayan utilizado aplicaciones de IA en su trabajo? [0,5 puntos]}$

El número esperado de éxitos de una binomial es su media.

$E[X]=n\,p=80\cdot 0{,}73=58{,}4$

Se espera que unos $58$ profesores de la facultad hayan utilizado aplicaciones de IA en su trabajo.