Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un taller especializado repara aparatos eléctricos de dos tipos, A y B. La reparación de cada aparato tipo A precisa de la sustitución de 3 componentes electrónicas y requiere 4 horas de trabajo. La reparación de cada aparato tipo B precisa de la sustitución de 5 componentes electrónicas y requiere 6 horas de trabajo. Si el taller dispone de 480 componentes electrónicas y de 600 horas de trabajo, y los beneficios que se obtienen por cada aparato A y B reparado son, respectivamente, 80 y 130 euros:

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal. [1 punto]

b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [0,75 puntos]

c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo se deben reparar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Formular el correspondiente problema de programación lineal. [1 punto]}$

Llamamos $x$ al número de aparatos del tipo A e $y$ al número de aparatos del tipo B que se reparan.

Ordenamos los datos en una tabla.

$$	$\text{Componentes}$	$\text{Horas}$	$\text{Beneficio (€)}$ $\text{Tipo A } (x)$	$3x$	$4x$	$80x$ $\text{Tipo B } (y)$	$5y$	$6y$	$130y$ $\text{Totales}$	$3x+5y$	$4x+6y$	$80x+130y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio:

$B(x,y)=80x+130y$

Las restricciones son:

Se dispone de 480 componentes electrónicas $\Rightarrow$ $3x+5y\leq 480$.

Se dispone de 600 horas de trabajo $\Rightarrow$ $4x+6y\leq 600 \Rightarrow 2x+3y\leq 300$.

El número de aparatos no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\text{Maximizar } B(x,y)=80x+130y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 3x+5y\leq 480 \\ 2x+3y\leq 300 \\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [0,75 puntos]}$

Dibujamos las rectas frontera con sus tablas de valores.

$x$	$y=\dfrac{480-3x}{5}$	$y=\dfrac{300-2x}{3}$ $0$	$96$	$100$ $60$	$60$	$60$

Los vértices son el origen, los cortes de cada recta con los ejes que quedan dentro del recinto y el corte de las dos rectas entre sí.

Vértice $B$:

$\begin{cases} 3x+5y=480 \\ 2x+3y=300 \end{cases}$

Multiplicamos la primera ecuación por $3$ y la segunda por $-5$ y las sumamos:

$\begin{cases} 9x+15y=1440 \\ -10x-15y=-1500 \end{cases} \Rightarrow -x=-60 \Rightarrow x=60$

$3\cdot 60+5y=480 \Rightarrow 5y=300 \Rightarrow y=60 \Rightarrow B(60,60)$

La región factible es el cuadrilátero de vértices $O(0,0)$, $A(0,96)$, $B(60,60)$ y $C(150,0)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo se deben reparar para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el valor de dicho beneficio? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el óptimo se alcanza en un vértice, así que evaluamos ahí la función objetivo.

$B(0,0)=0\ \text{€}$

$B(0,96)=130\cdot 96=12\,480\ \text{€}$

$B(60,60)=80\cdot 60+130\cdot 60=4800+7800=12\,600\ \text{€}$

$B(150,0)=80\cdot 150=12\,000\ \text{€}$

Se deben reparar $60$ aparatos del tipo A y $60$ del tipo B, con lo que se obtiene un beneficio máximo de $12\,600$ euros.