Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

El ayuntamiento de una ciudad está renovando un parque y va a construir un lago artificial con forma curva, delimitado por un sendero recto. El parque tiene forma rectangular y sus dimensiones (en metros) van de 0 a 50 en el eje $x$ y de 0 a 90 en el eje $y$. La silueta del lago sigue la función $y = \dfrac{-2}{10}x^2 + 11x - 70$ (metros), y se sitúa al norte del sendero, definido por la recta $y = x + 10$.

a) Representar el parque después de que esté terminada su renovación. [0,75 puntos]

b) Calcular la superficie del lago. [1 punto]

c) La superficie del parque situada al norte del sendero se va a plantar con flores y la situada al sur con césped. Calcular el coste de renovación del parque si el coste de construcción del lago supone 1000 €/m², la zona de flores 180 €/m² y la zona de césped 110 €/m². [0,75 puntos]

$\textbf{a) Representar el parque después de que esté terminada su renovación. [0,75 puntos]}$

El parque es el rectángulo $[0,50]\times[0,90]$. Dentro de él, el sendero es la recta $y=x+10$ y el lago queda entre la parábola y esa recta, así que empezamos por calcular sus puntos de corte.

$-\dfrac{2}{10}x^{2}+11x-70=x+10 \Rightarrow -0{,}2x^{2}+10x-80=0$

$x^{2}-50x+400=0 \Rightarrow x=\dfrac{50\pm\sqrt{2500-1600}}{2}=\dfrac{50\pm 30}{2}$

$\begin{cases} x=10 \Rightarrow y=20 \\ x=40 \Rightarrow y=50 \end{cases}$

Entre $x=10$ y $x=40$ la parábola queda por encima del sendero, y esa es la silueta del lago.



$\textbf{b) Calcular la superficie del lago. [1 punto]}$

El área encerrada entre las dos curvas se obtiene integrando su diferencia entre los puntos de corte.

$A=\int_{10}^{40}\left[\left(-0{,}2x^{2}+11x-70\right)-(x+10)\right]dx =\int_{10}^{40}\left(-0{,}2x^{2}+10x-80\right)dx$

$A=\left[-\dfrac{0{,}2x^{3}}{3}+5x^{2}-80x\right]_{10}^{40}$

$A=\left(-\dfrac{0{,}2\cdot 64000}{3}+5\cdot 1600-3200\right) -\left(-\dfrac{0{,}2\cdot 1000}{3}+5\cdot 100-800\right)$

$A=\left(-\dfrac{12800}{3}+4800\right)-\left(-\dfrac{200}{3}-300\right) =\dfrac{1600}{3}+\dfrac{1100}{3}=\dfrac{2700}{3}=900$

La superficie del lago es de $900\ \text{m}^{2}$.

$\textbf{c) La superficie del parque situada al norte del sendero se va a plantar con flores y la situada al sur con césped. Calcular el coste de renovación del parque si el coste de construcción del lago supone 1000 €/m², la zona de flores 180 €/m² y la zona de césped 110 €/m². [0,75 puntos]}$

El parque completo mide

$S=50\cdot 90=4500\ \text{m}^{2}$

La zona situada al sur del sendero es el trapecio limitado por la recta $y=x+10$ y los lados del rectángulo. Sus bases son las ordenadas de la recta en los extremos, $y(0)=10$ e $y(50)=60$, y su altura es el ancho del parque.

$S_{\text{sur}}=\dfrac{10+60}{2}\cdot 50=35\cdot 50=1750\ \text{m}^{2}$

$S_{\text{norte}}=4500-1750=2750\ \text{m}^{2}$

De la zona norte hay que descontar el lago para obtener la superficie que se planta con flores.

$S_{\text{flores}}=2750-900=1850\ \text{m}^{2}$

Ya se puede valorar cada partida.

$C_{\text{lago}}=900\cdot 1000=900\,000\ \text{€}$

$C_{\text{flores}}=1850\cdot 180=333\,000\ \text{€}$

$C_{\text{césped}}=1750\cdot 110=192\,500\ \text{€}$

$C=900\,000+333\,000+192\,500=1\,425\,500\ \text{€}$

El coste de la renovación del parque asciende a $1\,425\,500$ euros.