Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Una empresa canaria ha decidido comercializar una bebida refrescante con zumo de aloe vera ecológico. El número de bebidas vendidas (en miles de unidades), durante los primeros seis meses tras el lanzamiento, viene dado por la función:

$A(t) = \begin{cases} 12 - t(t - 2), & 0 \le t \le 3 \\[4pt] \dfrac{5t + 12}{3}, & 3 < t \le 6 \end{cases}$

donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses.

a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función durante los 6 primeros meses tras el lanzamiento de la bebida. [1 punto]

b) Estudiar, usando las derivadas, el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Cuáles fueron los valores mínimo y máximo de unidades vendidas y en qué meses se produjeron dichos valores? [1 punto]

c) Dibujar la gráfica de la función $A(t)$. A la vista de la información proporcionada por la función $A(t)$, y considerando que el incremento de ventas solo se consigue mediante campañas publicitarias, ¿crees que la empresa contrató servicios de publicidad previos al lanzamiento? ¿En algún momento tuvo que realizar un refuerzo de la campaña publicitaria? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función durante los 6 primeros meses tras el lanzamiento de la bebida. [1 punto]}$

El primer trozo es una función polinómica y el segundo una función afín, ambas continuas y derivables en todo su dominio, de modo que el único punto que hay que estudiar es el empalme $t=3$.

$\lim_{t\to 3^{-}}A(t)=\lim_{t\to 3^{-}}\big(12-t(t-2)\big)=12-3\cdot 1=9$

$\lim_{t\to 3^{+}}A(t)=\lim_{t\to 3^{+}}\dfrac{5t+12}{3}=\dfrac{15+12}{3}=9$

Como $A(3)=9$ y los dos límites laterales valen $9$, la función es continua en $t=3$ y, por tanto, en todo el intervalo $[0,6]$.

Para la derivabilidad se comparan las derivadas laterales.

$A'(t)=\begin{cases} -2t+2, & 0\leq t<3 \\[4pt] \dfrac{5}{3}, & 3<t\leq 6 \end{cases}$

$A'(3^{-})=-2\cdot 3+2=-4 \qquad A'(3^{+})=\dfrac{5}{3}$

Las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable en $t=3$: es derivable en $[0,6]$ salvo en el tercer mes, donde la gráfica presenta un punto anguloso.

$\textbf{b) Estudiar, usando las derivadas, el crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Cuáles fueron los valores mínimo y máximo de unidades vendidas y en qué meses se produjeron dichos valores? [1 punto]}$

Buscamos los puntos críticos en cada tramo.

$-2t+2=0 \Rightarrow t=1 \in [0,3)$

En el segundo tramo la derivada es la constante $\dfrac{5}{3}>0$, de modo que ahí no hay puntos críticos y la función siempre crece.

Estudiamos el signo de la derivada.

Si $t=0{,}5$, $A'(0{,}5)=-1+2=1>0$: la función crece.
Si $t=2$, $A'(2)=-4+2=-2<0$: la función decrece.
Si $t=4$, $A'(4)=\dfrac{5}{3}>0$: la función crece.



Las ventas crecen en $(0,1)$, decrecen en $(1,3)$ y vuelven a crecer en $(3,6)$. Hay un máximo relativo en $t=1$ y un mínimo relativo en $t=3$.

Como la función es continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$A(0)=12 \qquad A(1)=12-1\cdot(-1)=13$

$A(3)=9 \qquad A(6)=\dfrac{30+12}{3}=14$

El mínimo de ventas se produjo en el tercer mes, con $9$ miles de unidades, es decir, $9000$ bebidas; el máximo, en el sexto mes, con $14$ miles de unidades, es decir, $14\,000$ bebidas.

$\textbf{c) Dibujar la gráfica de la función } \boldsymbol{A(t)}\textbf{. A la vista de la información proporcionada por la función } \boldsymbol{A(t)}\textbf{, y considerando que el incremento de ventas solo se consigue mediante campañas publicitarias, ¿crees que la empresa contrató servicios de publicidad previos al lanzamiento? ¿En algún momento tuvo que realizar un refuerzo de la campaña publicitaria? [0,5 puntos]}$

Con la información de los apartados anteriores —parábola de vértice $(1,13)$ en el primer tramo, segmento de recta creciente en el segundo y punto anguloso en $(3,9)$— se dibuja la gráfica.



En el momento del lanzamiento las ventas ya eran de $12$ miles de unidades y todavía crecieron durante el primer mes: un producto recién sacado al mercado no arranca así por sí solo, de modo que sí hubo una campaña publicitaria previa al lanzamiento.

A partir del primer mes las ventas caen hasta el mínimo del tercer mes. Justo ahí la tendencia se invierte y las ventas pasan a crecer de forma sostenida, cosa que —según indica el enunciado— solo puede deberse a la publicidad. Por tanto, la empresa reforzó la campaña publicitaria en el tercer mes.