Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En un estudio sobre el país de origen de los cruceristas que visitan las Islas Canarias se ha seleccionado una muestra aleatoria de 196 cruceristas, de los cuales 34 procedían de Alemania.

a) Determinar un intervalo de confianza al 98 % para la proporción de cruceristas procedentes de Alemania. [0,75 puntos]

b) Si se deseara estimar dicha proporción con un margen de error del 2 % y una confianza del 95 %, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra? [1 punto]

c) De los 196 cruceristas anteriores se selecciona al azar un grupo de 5 para una entrevista en la TV. ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho grupo haya al menos un alemán? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determinar un intervalo de confianza al 98 \% para la proporción de cruceristas procedentes de Alemania. [0,75 puntos]}$

Calculamos la proporción muestral de cruceristas alemanes.

$\hat{p}=\dfrac{34}{196}=\dfrac{17}{98}\approx 0{,}1735 \qquad \hat{q}=1-\hat{p}\approx 0{,}8265$

Para una confianza del 98 % es $\alpha=0{,}02$ y $z_{\alpha/2}=2{,}33$, valor que deja a su izquierda $0{,}99$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}} =2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}1735\cdot 0{,}8265}{196}} =2{,}33\cdot 0{,}0270=0{,}0630$

$IC_{98\%}(p)=(0{,}1735-0{,}0630,\ 0{,}1735+0{,}0630)=(0{,}1105,\ 0{,}2365)$

Con una confianza del 98 %, la proporción de cruceristas alemanes está entre $0{,}1105$ y $0{,}2365$.



$\textbf{b) Si se deseara estimar dicha proporción con un margen de error del 2 \% y una confianza del 95 \%, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra? [1 punto]}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, con $E=0{,}02$ y $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}} =\dfrac{1{,}96^{2}\cdot 0{,}1735\cdot 0{,}8265}{0{,}02^{2}}$

$n=\dfrac{3{,}8416\cdot 0{,}1434}{0{,}0004}=1376{,}99$

Se toma el entero inmediatamente superior, de modo que la muestra debería ser de $1377$ cruceristas.

$\textbf{c) De los 196 cruceristas anteriores se selecciona al azar un grupo de 5 para una entrevista en la TV. ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho grupo haya al menos un alemán? [0,75 puntos]}$

Si $X$ es el número de alemanes entre los 5 elegidos, se tiene $X\sim B(5;0{,}1735)$. Calculamos la probabilidad pedida pasando al suceso contrario, que es que ninguno sea alemán.

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{5}{0}\cdot 0{,}1735^{0}\cdot 0{,}8265^{5}=0{,}8265^{5}=0{,}3857$

$P(X\geq 1)=1-0{,}3857=0{,}6143$

La probabilidad de que en el grupo de 5 cruceristas haya al menos un alemán es $0{,}6143$.