Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Se quiere estimar el sueldo medio de los trabajadores de cierto sector. Para ello se selecciona una muestra de 625 trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de 1480 €. Suponiendo que el sueldo de un trabajador es una variable aleatoria con distribución normal y desviación típica $\sigma$ igual a 250 €:

a) Hallar el intervalo de confianza del 95 % para el sueldo medio de un trabajador. [1 punto]

b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 15 €, con una confianza del 98 %, determinar el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir. [1 punto]

c) Si se considera el valor 1480 como sueldo medio poblacional, y se eligen al azar y de manera independiente dos trabajadores del sector, ¿cuál es la probabilidad de que cada uno de ellos gane más de 1500 €? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Hallar el intervalo de confianza del 95 \% para el sueldo medio de un trabajador. [1 punto]}$

La población es normal y se conoce su desviación típica, de modo que el intervalo de confianza para la media es

$IC(\mu)=\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Para una confianza del 95 % es $\alpha=0{,}05$ y el valor que deja a su izquierda $0{,}975$ en la tabla de la $N(0,1)$ es $z_{\alpha/2}=1{,}96$.

$E=1{,}96\cdot\dfrac{250}{\sqrt{625}}=1{,}96\cdot\dfrac{250}{25}=1{,}96\cdot 10=19{,}6\ \text{€}$

$IC_{95\%}(\mu)=(1480-19{,}6,\ 1480+19{,}6)=(1460{,}4,\ 1499{,}6)$

Con una confianza del 95 %, el sueldo medio del sector está entre $1460{,}4$ y $1499{,}6$ euros.



$\textbf{b) Si se quiere que el error máximo de la estimación del sueldo medio de un trabajador sea de 15 €, con una confianza del 98 \%, determinar el tamaño mínimo de la muestra que se debe elegir. [1 punto]}$

Se despeja $n$ de la fórmula del error, ahora con $E=15$ y con $z_{\alpha/2}=2{,}33$, que es el valor que deja a su izquierda $0{,}99$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E} \Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}\right)^{2}$

$n=\left(\dfrac{2{,}33\cdot 250}{15}\right)^{2} =\left(\dfrac{582{,}5}{15}\right)^{2} =38{,}8333^{2}=1508{,}03$

Como el tamaño de la muestra ha de ser entero y el error debe quedar por debajo de 15 €, se toma el entero inmediatamente superior.

Se deben elegir como mínimo $1509$ trabajadores.

$\textbf{c) Si se considera el valor 1480 como sueldo medio poblacional, y se eligen al azar y de manera independiente dos trabajadores del sector, ¿cuál es la probabilidad de que cada uno de ellos gane más de 1500 €? [0,5 puntos]}$

Ahora se trabaja con la variable individual $X\sim N(1480,250)$, no con la media muestral.

$P(X>1500)=P\left(Z>\dfrac{1500-1480}{250}\right)=P(Z>0{,}08)$

$=1-P(Z\leq 0{,}08)=1-0{,}5319=0{,}4681$

Los dos trabajadores se eligen de manera independiente, así que la probabilidad del suceso conjunto es el producto de las probabilidades.

$P=0{,}4681\cdot 0{,}4681=0{,}4681^{2}=0{,}2191$

La probabilidad de que los dos trabajadores elegidos ganen más de 1500 euros es $0{,}2191$.