Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Los huéspedes de un hotel pueden elegir entre: Solo Alojamiento (SA), Alojamiento y Desayuno (AD), y Todo Incluido (TI). Se sabe que el número de clientes en Todo Incluido es el doble que en Solo Alojamiento y que, por cada tres clientes en Solo Alojamiento, hay dos en Alojamiento y Desayuno. Además, si se marcharan 39 clientes de Todo Incluido, la suma de los que están en los otros dos regímenes sería igual a los que quedan en Todo Incluido.

a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]

b) ¿Cuántos clientes hay en cada régimen de alojamiento? [1 punto]

$\textbf{a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. [1,5 puntos]}$

Llamamos $x$ al número de clientes en Solo Alojamiento, $y$ al de Alojamiento y Desayuno y $z$ al de Todo Incluido.

El número de clientes en Todo Incluido es el doble que en Solo Alojamiento $\Rightarrow$ $z=2x$.

Por cada tres clientes en Solo Alojamiento hay dos en Alojamiento y Desayuno $\Rightarrow$ $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{2} \Rightarrow 2x=3y$.

Si se marcharan 39 clientes de Todo Incluido, la suma de los otros dos regímenes sería igual a los que quedan $\Rightarrow$ $x+y=z-39$.

Reunimos las tres condiciones en un sistema:

$\begin{cases} 2x-z=0 \\ 2x-3y=0 \\ x+y-z=-39 \end{cases}$

$\textbf{b) ¿Cuántos clientes hay en cada régimen de alojamiento? [1 punto]}$

Resolvemos por sustitución, escribiendo $y$ y $z$ en función de $x$.

$z=2x \qquad y=\dfrac{2x}{3}$

Sustituimos en la tercera ecuación.

$x+\dfrac{2x}{3}=2x-39$

$\dfrac{5x}{3}=2x-39 \Rightarrow 5x=6x-117 \Rightarrow x=117$

$y=\dfrac{2\cdot 117}{3}=78 \qquad z=2\cdot 117=234$

Comprobamos la tercera condición: $117+78=195$ y $234-39=195$.

Hay $117$ clientes en Solo Alojamiento, $78$ en Alojamiento y Desayuno y $234$ en Todo Incluido, es decir, $429$ huéspedes en total.