Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

El Ayuntamiento dispone de un presupuesto de 4000 € para ampliar la capacidad de almacenamiento de su centro de datos, al que se encuentran conectados los 700 ordenadores que dan servicio a la administración. Para ello, el Ayuntamiento puede adquirir discos duros SATA de 9,6 terabytes (Tb) y discos duros SSD de 1,2 Tb de capacidad. Cada disco SATA es capaz de dar servicio a 100 ordenadores y cuesta 200 €. En cambio, los discos SSD pueden dar servicio a un máximo de 50 ordenadores y cuestan 100 € cada uno. De acuerdo con un estudio realizado por los técnicos, para garantizar una adecuada calidad de servicio, será necesario instalar como mínimo 30 discos duros en total, con al menos una unidad de cada tipo de disco.

a) Formular el correspondiente programa de programación lineal. [1 punto]

b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [0,75 puntos]

c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo deben instalarse para conseguir la máxima capacidad de almacenamiento? Una vez instalados, ¿cuál es la capacidad media disponible por ordenador? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Formular el correspondiente programa de programación lineal. [1 punto]}$

Llamamos $x$ al número de discos duros SATA y $y$ al número de discos duros SSD que se instalan.

Ordenamos los datos del enunciado en una tabla.

$$	$\text{Capacidad (Tb)}$	$\text{Ordenadores}$	$\text{Coste (€)}$ $\text{SATA } (x)$	$9{,}6x$	$100x$	$200x$ $\text{SSD } (y)$	$1{,}2y$	$50y$	$100y$ $\text{Totales}$	$9{,}6x+1{,}2y$	$100x+50y$	$200x+100y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es la capacidad total de almacenamiento:

$C(x,y)=9{,}6x+1{,}2y$

Las restricciones son:

El presupuesto es de 4000 € $\Rightarrow$ $200x+100y\leq 4000 \Rightarrow 2x+y\leq 40$.

Hay que dar servicio a los 700 ordenadores $\Rightarrow$ $100x+50y\geq 700 \Rightarrow 2x+y\geq 14$.

Se instalan como mínimo 30 discos duros $\Rightarrow$ $x+y\geq 30$.

Debe haber al menos una unidad de cada tipo $\Rightarrow$ $x\geq 1$, $y\geq 1$.

$\text{Maximizar } C(x,y)=9{,}6x+1{,}2y \quad \text{sujeto a} \quad \begin{cases} 2x+y\leq 40 \\ 2x+y\geq 14 \\ x+y\geq 30 \\ x\geq 1;\ y\geq 1 \end{cases}$

$\textbf{b) Representar la región factible e indicar cuáles son sus vértices. [0,75 puntos]}$

Obsérvese que la restricción $2x+y\geq 14$ es redundante: de $x+y\geq 30$ y $x\geq 1$ se sigue $2x+y=x+(x+y)\geq 31>14$. La región factible queda determinada por las tres restricciones restantes.

Para dibujarlas se usan sus tablas de valores.

$x$	$y=40-2x$	$y=30-x$ $0$	$40$	$30$ $10$	$20$	$20$

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan.

Vértice $A$:

$\begin{cases} x=1 \\ 2x+y=40 \end{cases} \Rightarrow y=40-2=38 \Rightarrow A(1,38)$

Vértice $B$:

$\begin{cases} x=1 \\ x+y=30 \end{cases} \Rightarrow y=30-1=29 \Rightarrow B(1,29)$

Vértice $C$:

$\begin{cases} 2x+y=40 \\ x+y=30 \end{cases} \Rightarrow x=10 \Rightarrow y=20 \Rightarrow C(10,20)$

La región factible es el triángulo de vértices $A(1,38)$, $B(1,29)$ y $C(10,20)$.

$\textbf{c) ¿Cuántos aparatos de cada tipo deben instalarse para conseguir la máxima capacidad de almacenamiento? Una vez instalados, ¿cuál es la capacidad media disponible por ordenador? [0,75 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el óptimo se alcanza en un vértice de la región factible, así que evaluamos en ellos la función objetivo.

$C(1,38)=9{,}6\cdot 1+1{,}2\cdot 38=9{,}6+45{,}6=55{,}2\ \text{Tb}$

$C(1,29)=9{,}6\cdot 1+1{,}2\cdot 29=9{,}6+34{,}8=44{,}4\ \text{Tb}$

$C(10,20)=9{,}6\cdot 10+1{,}2\cdot 20=96+24=120\ \text{Tb}$

El máximo se alcanza en $C(10,20)$. La capacidad media por ordenador es

$\dfrac{120}{700}=0{,}1714\ \text{Tb/ordenador}\approx 171{,}43\ \text{Gb/ordenador}$

Deben instalarse $10$ discos SATA y $20$ discos SSD, con lo que se consigue una capacidad de $120$ Tb y una capacidad media de unos $171{,}43$ Gb por ordenador.