Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

En una plaza hay una superficie limitada por las curvas

$y = 3x^2 - 5x + 3, \qquad y = x + 3,$

con $x$ expresado en metros, donde se quiere hacer un jardín para instalar dentro una estatua conmemorativa.

a) Representar la superficie que se destina al jardín. [0,75 puntos]

b) ¿Cuánto mide dicha superficie? [1 punto]

c) La superficie se recubre con césped artificial, con un precio de 25,99 €/m². Para colocar el césped se requiere material adicional con un coste de 18 €/m², siendo además el coste de la mano de obra de 20 €/m². A los costes anteriores hay que añadir el impuesto que es un 7 % para el césped y materiales y un 4 % para la mano de obra. ¿Cuál es el coste total de la obra? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Representar la superficie que se destina al jardín. [0,75 puntos]}$

La superficie del jardín es el recinto limitado por la parábola $y=3x^{2}-5x+3$ y la recta $y=x+3$, así que empezamos por calcular sus puntos de corte.

$3x^{2}-5x+3=x+3 \Rightarrow 3x^{2}-6x=0 \Rightarrow 3x(x-2)=0$

$\begin{cases} x=0 \Rightarrow y=3 \\ x=2 \Rightarrow y=5 \end{cases}$

Las dos curvas se cortan en $(0,3)$ y en $(2,5)$. La parábola tiene las ramas hacia arriba y su vértice está en $x=\dfrac{5}{6}$, de modo que entre $x=0$ y $x=2$ la recta queda por encima de la parábola.



$\textbf{b) ¿Cuánto mide dicha superficie? [1 punto]}$

El área se calcula integrando la diferencia entre la función que queda arriba y la que queda abajo, entre los dos puntos de corte.

$A=\int_{0}^{2}\big[(x+3)-(3x^{2}-5x+3)\big]\,dx =\int_{0}^{2}(6x-3x^{2})\,dx$

$A=\left[3x^{2}-x^{3}\right]_{0}^{2} =(3\cdot 4-8)-(0-0)$

$A=12-8=4\ \text{m}^{2}$

La superficie destinada al jardín mide $4\ \text{m}^{2}$.

$\textbf{c) La superficie se recubre con césped artificial, con un precio de 25,99 €/m². Para colocar el césped se requiere material adicional con un coste de 18 €/m², siendo además el coste de la mano de obra de 20 €/m². A los costes anteriores hay que añadir el impuesto que es un 7 \% para el césped y materiales y un 4 \% para la mano de obra. ¿Cuál es el coste total de la obra? [0,75 puntos]}$

Separamos los dos bloques de coste, porque llevan impuestos distintos. El césped y el material adicional se gravan al 7 %.

$C_{1}=(25{,}99+18)\cdot 4=43{,}99\cdot 4=175{,}96\ \text{€}$

$C_{1}'=175{,}96\cdot 1{,}07=188{,}2772\ \text{€}$

La mano de obra se grava al 4 %.

$C_{2}=20\cdot 4=80\ \text{€} \qquad C_{2}'=80\cdot 1{,}04=83{,}2\ \text{€}$

$C=C_{1}'+C_{2}'=188{,}2772+83{,}2=271{,}4772\ \text{€}$

El coste total de la obra asciende a $271{,}48$ euros.