Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En una cafetería se pretende implementar una aplicación móvil que permita a los clientes escanear un código QR, ubicado en cada mesa, para realizar pedidos, pagar e incluso llamar al camarero. Para conocer la opinión de los usuarios, se encuestó a una muestra aleatoria de 210 clientes, de los cuales 140 consideraron que este nuevo sistema ayudaría a reducir el tiempo de espera.

a) Determinar un intervalo de confianza, al 98 %, para estimar la proporción de clientes que opinan que esta aplicación permitiría reducir los tiempos de espera. ¿Cuál sería el error máximo en la estimación? [1 punto]

b) Si, realizando una nueva encuesta, se quisiese estimar la proporción de clientes que opinan que la aplicación reduciría los tiempos de espera, con un error inferior al 4 % y un nivel de confianza del 96 %, ¿a cuántos clientes, como mínimo, se debería preguntar si usamos como estimación inicial de la proporción la obtenida en la muestra anterior? [1 punto]

c) De la muestra inicial se seleccionan 9 clientes para una entrevista personal. ¿Cuál es la probabilidad de que entre esos 9 clientes haya al menos 2 que consideran que la aplicación no reducirá el tiempo de espera? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determinar un intervalo de confianza, al 98 \%, para estimar la proporción de clientes que opinan que esta aplicación permitiría reducir los tiempos de espera. ¿Cuál sería el error máximo en la estimación? [1 punto]}$

Calculamos primero la proporción muestral.

$\hat{p}=\dfrac{140}{210}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667 \qquad \hat{q}=1-\hat{p}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

Para una confianza del 98 % es $\alpha=0{,}02$ y el valor crítico que deja a su izquierda $0{,}99$ es $z_{\alpha/2}=2{,}33$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}} =2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}6667\cdot 0{,}3333}{210}}$

$E=2{,}33\cdot 0{,}0325=0{,}0758$

$IC_{98\%}(p)=(0{,}6667-0{,}0758,\ 0{,}6667+0{,}0758)=(0{,}5909,\ 0{,}7425)$

Con una confianza del 98 %, la proporción de clientes que opinan que la aplicación reduciría el tiempo de espera está entre $0{,}5909$ y $0{,}7425$, y el error máximo cometido en la estimación es $0{,}0758$.



$\textbf{b) Si, realizando una nueva encuesta, se quisiese estimar la proporción de clientes que opinan que la aplicación reduciría los tiempos de espera, con un error inferior al 4 \% y un nivel de confianza del 96 \%, ¿a cuántos clientes, como mínimo, se debería preguntar si usamos como estimación inicial de la proporción la obtenida en la muestra anterior? [1 punto]}$

Se despeja el tamaño muestral de la fórmula del error, ahora con $E=0{,}04$ y con $z_{\alpha/2}=2{,}05$, que es el valor que deja a su izquierda $0{,}98$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,\hat{q}}{n}} \Rightarrow n=\dfrac{z_{\alpha/2}^{\,2}\cdot\hat{p}\,\hat{q}}{E^{2}}$

$n=\dfrac{2{,}05^{2}\cdot 0{,}6667\cdot 0{,}3333}{0{,}04^{2}} =\dfrac{4{,}2025\cdot 0{,}2222}{0{,}0016}=583{,}68$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero y el error tiene que quedar por debajo del exigido, se toma el entero inmediatamente superior.

Se debería preguntar como mínimo a $584$ clientes.

$\textbf{c) De la muestra inicial se seleccionan 9 clientes para una entrevista personal. ¿Cuál es la probabilidad de que entre esos 9 clientes haya al menos 2 que consideran que la aplicación no reducirá el tiempo de espera? [0,5 puntos]}$

En la muestra inicial, $210-140=70$ clientes opinan que la aplicación no reducirá el tiempo de espera, de modo que la proporción de éxitos es

$p=\dfrac{70}{210}=\dfrac{1}{3}$

Si $X$ es el número de esos clientes entre los 9 elegidos, entonces $X\sim B\left(9,\dfrac{1}{3}\right)$. Se pasa al suceso contrario, que solo tiene dos casos.

$P(X\geq 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{9}{0}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{0}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{9} =\dfrac{512}{19683}\approx 0{,}0260$

$P(X=1)=\binom{9}{1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{8} =\dfrac{2304}{19683}\approx 0{,}1171$

$P(X\geq 2)=1-\dfrac{512}{19683}-\dfrac{2304}{19683} =\dfrac{16867}{19683}\approx 0{,}8569$

La probabilidad de que al menos 2 de los 9 entrevistados opinen que la aplicación no reducirá el tiempo de espera es $0{,}8569$.