Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El precio de alquiler, PA, de pisos de dos habitaciones de una gran ciudad sigue una distribución normal.

a) Si, para una muestra de 400 pisos de dos habitaciones, con una confianza del 99 %, se ha obtenido $[1174{,}25,\ 1225{,}75]$ como el intervalo para la media de PA, ¿cuál es la desviación típica de PA? [0,75 puntos]

b) Si los gastos de gestión representan el 10 % del precio de alquiler, usando los datos del apartado anterior, ¿cuál sería el correspondiente intervalo de confianza, al 90 %, para la media de dichos gastos de gestión? [1 punto]

c) Usando la media muestral y la desviación típica obtenidas en a), ¿cuál es la probabilidad de que, para una muestra de 25 pisos de dos habitaciones de la referida ciudad, el precio medio de alquiler sea mayor o igual que 1250 euros? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Si, para una muestra de 400 pisos de dos habitaciones, con una confianza del 99 \%, se ha obtenido } \boldsymbol{[1174{,}25,\ 1225{,}75]}\textbf{ como el intervalo para la media de PA, ¿cuál es la desviación típica de PA? [0,75 puntos]}$

El intervalo de confianza para la media de una población normal de desviación típica conocida es simétrico respecto de la media muestral, de modo que el centro del intervalo es $\bar{x}$ y su semiamplitud es el error máximo admisible $E$.

$\bar{x}=\dfrac{1174{,}25+1225{,}75}{2}=1200\ \text{€}$

$E=\dfrac{1225{,}75-1174{,}25}{2}=25{,}75\ \text{€}$

Para una confianza del 99 % se tiene $\alpha=0{,}01$ y, buscando en la tabla de la $N(0,1)$ el valor que deja a su izquierda $0{,}995$, resulta $z_{\alpha/2}=2{,}575$.

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \Rightarrow 25{,}75=2{,}575\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{400}}$

$\sigma=\dfrac{25{,}75\cdot 20}{2{,}575}=200\ \text{€}$

La desviación típica del precio de alquiler es de $200$ euros.

$\textbf{b) Si los gastos de gestión representan el 10 \% del precio de alquiler, usando los datos del apartado anterior, ¿cuál sería el correspondiente intervalo de confianza, al 90 \%, para la media de dichos gastos de gestión? [1 punto]}$

Los gastos de gestión son $G=0{,}1\cdot PA$. Al multiplicar una variable por una constante, la media y la desviación típica quedan multiplicadas por esa misma constante.

$\bar{g}=0{,}1\cdot 1200=120\ \text{€} \qquad \sigma_G=0{,}1\cdot 200=20\ \text{€}$

Para una confianza del 90 % se tiene $\alpha=0{,}1$ y $z_{\alpha/2}=1{,}645$, pues $P(Z\leq 1{,}645)=0{,}95$.

$E=1{,}645\cdot\dfrac{20}{\sqrt{400}}=1{,}645\cdot 1=1{,}645\ \text{€}$

$IC_{90\%}(\mu_G)=(120-1{,}645,\ 120+1{,}645)=(118{,}355,\ 121{,}645)$

Con una confianza del 90 %, la media de los gastos de gestión está entre $118{,}355$ y $121{,}645$ euros.

$\textbf{c) Usando la media muestral y la desviación típica obtenidas en a), ¿cuál es la probabilidad de que, para una muestra de 25 pisos de dos habitaciones de la referida ciudad, el precio medio de alquiler sea mayor o igual que 1250 euros? [0,75 puntos]}$

Como la población es normal, la media de una muestra de tamaño $n=25$ sigue la distribución

$\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(1200,\dfrac{200}{\sqrt{25}}\right)=N(1200,40)$

Tipificamos y usamos la tabla de la normal estándar.

$P(\bar{X}\geq 1250) =P\left(Z\geq\dfrac{1250-1200}{40}\right) =P(Z\geq 1{,}25)$

$=1-P(Z<1{,}25)=1-0{,}8944=0{,}1056$

La probabilidad de que el precio medio de alquiler de una muestra de 25 pisos sea de 1250 euros o más es $0{,}1056$, es decir, del 10,56 %.