Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Consideremos el punto $A(1,2,1)$, y la recta $r: \begin{cases} x + y = 5 \\ 3y + z = 14 \end{cases}$

a) Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta $r$. [1,5 puntos]

b) Consideremos $P(1,4,2)$, un punto de la recta $r$. Y sea $s$ la recta determinada por los puntos $A$ y $P$. Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\textbf{a) Encuentre la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene al punto } \boldsymbol{A}\textbf{ y es perpendicular a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el vector director de esta es su vector normal; con eso y el punto queda determinado. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su director es el producto vectorial de las normales.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\end{vmatrix}=(1,-1,3)$

$\pi:x-y+3z+D=0$

$A(1,2,1)\in\pi\Rightarrow 1-2+3+D=0\Rightarrow D=-2$

El plano pedido es $\pi:x-y+3z-2=0$.

$\textbf{b) Consideremos } \boldsymbol{P(1,4,2)}\textbf{, un punto de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. Y sea } \boldsymbol{s}\textbf{ la recta determinada por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{P}\textbf{. Calcule el ángulo que forman las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Comprobamos primero que $P$ está en $r$, como afirma el enunciado, y obtenemos el vector director de $s$ uniendo los dos puntos.

$P(1,4,2):\quad 1+4=5;\qquad 3\cdot 4+2=14$

$\vec v_s=\overrightarrow{AP}=(1,4,2)-(1,2,1)=(0,2,1)$











El ángulo que forman dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar.

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec v_s\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec v_s\right|}$

$=\dfrac{|0-2+3|}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{0+4+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{11}\cdot\sqrt{5}}$

$=\dfrac{1}{\sqrt{55}}\approx 0{,}1348$

$\alpha=\arccos(0{,}1348)\approx 82^{\circ}\,15'\,2''$





Las rectas $r$ y $s$ se cortan en $P$ formando un ángulo de, aproximadamente, $82^{\circ}\,15'$.