Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

$\left.\begin{array}{r} kx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ky + 4z = 2 \\ 2x + ky + 6z = k - 2 \end{array}\right\}$

a) Discuta el sistema según los valores del parámetro $k$. [1,75 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k = 0$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}k & 2 & 6\\ 2 & k & 4\\ 2 & k & 6\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}k & 2 & 6 & 0\\ 2 & k & 4 & 2\\ 2 & k & 6 & k-2\end{array}\right)$

$|A|=6k^{2}+16+12k-\left(12k+4k^{2}+24\right)=2k^{2}-8=2(k-2)(k+2)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}k=2\\ k=-2\end{cases}$

Si $k\neq 2$ y $k\neq -2$, entonces $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=2$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 2 & 6 & 0\\ 2 & 2 & 4 & 2\\ 2 & 2 & 6 & 0\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, término independiente incluido, así que la tercera ecuación es superflua y las dos matrices tienen el mismo rango.

$\begin{vmatrix}2 & 6\\ 2 & 4\end{vmatrix}=8-12=-4\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=-2$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-2 & 2 & 6 & 0\\ 2 & -2 & 4 & 2\\ 2 & -2 & 6 & -4\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}-2 & 6\\ 2 & 4\end{vmatrix}=-8-12=-20\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}-2 & 6 & 0\\ 2 & 4 & 2\\ 2 & 6 & -4\end{vmatrix}=32+24+0-\left(0-24-48\right)=128\neq 0$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de 2 y de $-2$, compatible indeterminado para $k=2$ e incompatible para $k=-2$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Como $0\neq 2$ y $0\neq -2$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}2y+6z=0\\ 2x+4z=2\\ 2x+6z=-2\end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la tercera desaparece $x$:

$(2x+6z)-(2x+4z)=-2-2\Rightarrow 2z=-4\Rightarrow z=-2$

$2x+4(-2)=2\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=5$

$2y+6(-2)=0\Rightarrow 2y=12\Rightarrow y=6$

Comprobamos en la tercera ecuación:

$2\cdot 5+6\cdot(-2)=10-12=-2$

Para $k=0$ la solución del sistema es $x=5$, $y=6$, $z=-2$.