Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Si una bombilla fluorescente presenta un 90 % de posibilidades de tener una vida útil de al menos 800 horas, seleccionando 20 bombillas fluorescentes de este tipo, justifique si las siguientes afirmaciones son ciertas:

a) Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30 % tienen una vida útil de al menos 800 horas. [1 punto]

b) La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,7. [1 punto]

c) El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10. [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de bombillas, de las 20 seleccionadas, con una vida útil de al menos 800 horas. Cada bombilla la alcanza o no la alcanza, con la misma probabilidad y con independencia de las demás, de modo que

$p=0{,}9,\qquad q=0{,}1,\qquad X\sim B(20;\,0{,}9)$

Con 20 pruebas no procede aproximar por una normal: se aplica directamente la fórmula de la binomial.

$\textbf{a) Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30 \% tienen una vida útil de al menos 800 horas. [1 punto]}$

Se pide la probabilidad de que sean exactamente 18 las bombillas que superan las 800 horas.

$P(X=18)=\binom{20}{18}\,0{,}9^{18}\cdot 0{,}1^{2}=190\cdot 0{,}150095\cdot 0{,}01\approx 0{,}2852$

La probabilidad es del $28{,}52\ \%$, que no llega al $30\ \%$. La afirmación es falsa.

$\textbf{b) La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,7. [1 punto]}$

Ahora conviene cambiar de variable y contar los fallos. Llamamos $Y$ al número de bombillas que no llegan a las 800 horas, que sigue una binomial con la probabilidad complementaria.

$Y\sim B(20;\,0{,}1)$

$P(Y\le 2)=P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)$

$P(Y=0)=0{,}9^{20}\approx 0{,}1216$

$P(Y=1)=\binom{20}{1}\,0{,}1\cdot 0{,}9^{19}=20\cdot 0{,}1\cdot 0{,}135085\approx 0{,}2702$

$P(Y=2)=\binom{20}{2}\,0{,}1^{2}\cdot 0{,}9^{18}=190\cdot 0{,}01\cdot 0{,}150095\approx 0{,}2852$

$P(Y\le 2)=0{,}1216+0{,}2702+0{,}2852\approx 0{,}6769$

La probabilidad es $0{,}6769$, menor que $0{,}7$. La afirmación es cierta.

$\textbf{c) El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10. [0,5 puntos]}$

El número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por la probabilidad de éxito.

$\mu=np=100\cdot 0{,}9=90$

De 100 bombillas cabe esperar que 90 superen las 800 horas, no 10; la afirmación es falsa. El 10 corresponde al número esperado de bombillas que no alcanzan esa duración, $100\cdot 0{,}1=10$.