Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dada la recta $r: \begin{cases} x = -2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$, y dado el plano $\pi \equiv x - 3y + 5z = 2$

a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$? [1,25 puntos]

b) Calcule el plano $\pi'$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la posición relativa de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{? [1,25 puntos]}$

Para situar una recta respecto de un plano se compara el vector director de la recta con el vector normal del plano: si el producto escalar no se anula, se cortan; si se anula, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y para distinguir los dos casos se mira si un punto de la recta cumple la ecuación del plano.

$\vec v_r=(-2,1,1),\qquad \vec n_{\pi}=(1,-3,5)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=-2-3+5=0$

El producto escalar se anula, luego la recta no corta al plano. Tomamos su punto $P_r(0,2,2)$, que se obtiene con $\lambda=0$, y lo sustituimos en la ecuación del plano:

$0-3\cdot 2+5\cdot 2=-6+10=4\neq 2$



El punto no pertenece al plano, de modo que la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ y no está contenida en él.

$\textbf{b) Calcule el plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Que $\pi'$ sea perpendicular a $\pi$ equivale a que contenga la dirección del vector normal de $\pi$. Junto con el director de $r$, esos son sus dos vectores directores, y su producto vectorial da el vector normal de $\pi'$.

$\vec n'=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -2 & 1 & 1\\ 1 & -3 & 5\end{vmatrix}=(8,11,5)$

$\pi':8x+11y+5z+D=0$

$P_r(0,2,2)\in\pi'\Rightarrow 0+22+10+D=0\Rightarrow D=-32$

Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

$\vec n'\cdot\vec n_{\pi}=8-33+25=0$

El plano pedido es $\pi':8x+11y+5z-32=0$.