Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Calcule $\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$. [1,25 puntos]

b) Halle las asíntotas de la función $f(x) = \dfrac{x^3 + 5x^2}{x^2 - 1}$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que se integra por partes tomando como $u$ el polinomio, que al derivar baja de grado.

$\begin{cases}u=x\Rightarrow du=dx\\ dv=\cos x\,dx\Rightarrow v=\operatorname{sen}x\end{cases}$

$\int x\cos x\,dx=x\operatorname{sen}x-\int\operatorname{sen}x\,dx=x\operatorname{sen}x+\cos x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx=\left[x\operatorname{sen}x+\cos x\right]_0^{\pi/2}$

$=\left(\dfrac{\pi}{2}\cdot 1+0\right)-\left(0\cdot 0+1\right)=\dfrac{\pi}{2}-1\approx 0{,}5708$

El valor de la integral es $\dfrac{\pi}{2}-1\approx 0{,}5708$.

$\textbf{b) Halle las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{x^3 + 5x^2}{x^2 - 1}}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los valores que anulan el denominador, $x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1$, y en ninguno de los dos se anula el numerador.

$\lim_{x\to 1^{-}}\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{2}-1}=\dfrac{6}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{+}}\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{2}-1}=\dfrac{6}{0^{+}}=+\infty$

$\lim_{x\to -1^{-}}\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{2}-1}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to -1^{+}}\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{2}-1}=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty$

—a la izquierda de $-1$ se cumple $x^{2}>1$ y el denominador es positivo; a la derecha, $x^{2}<1$ y es negativo—.

$\Rightarrow x=-1\ \text{y}\ x=1\ \text{son asíntotas verticales}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que el límite es infinito y no hay asíntota horizontal; como la diferencia de grados es exactamente 1, sí habrá oblicua.

Asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{3}-x}=1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{3}+5x^{2}-x\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{5x^{2}+x}{x^{2}-1}=5$

El mismo resultado se obtiene efectuando la división de los polinomios, que deja el cociente y un resto que tiende a cero:

$\dfrac{x^{3}+5x^{2}}{x^{2}-1}=x+5+\dfrac{x+5}{x^{2}-1}$

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-1$ y $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=x+5$; no tiene asíntota horizontal.