Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Consideremos la recta $r: \begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x - 4z = -1 \end{cases}$, y el plano $\pi_1 \equiv x - y + 3z = 12$

a) Calcule la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi_1$. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que la recta $r$ corta el plano $\pi_1$, averigüe el punto de intersección. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{ que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Que $\pi_2$ sea perpendicular a $\pi_1$ equivale a que contenga la dirección del vector normal de $\pi_1$. Junto con el director de $r$, esos son sus dos vectores directores, y su producto vectorial da el vector normal de $\pi_2$.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & -1 & 0\\ 3 & 0 & -4\end{vmatrix}=(4,8,3),\qquad \vec n_1=(1,-1,3)$

$\vec n_2=\vec v_r\times\vec n_1=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & 8 & 3\\ 1 & -1 & 3\end{vmatrix}=(27,-9,-12)$

Dividiendo entre 3, $\vec n_2=(9,-3,-4)$. Para un punto de $r$ tomamos $x=1$: de la primera ecuación $y=-3$ y de la segunda $z=1$.

$P_r(1,-3,1):\quad 2+3=5;\qquad 3-4=-1$

$\pi_2:9x-3y-4z+D=0$

$P_r(1,-3,1)\in\pi_2\Rightarrow 9+9-4+D=0\Rightarrow D=-14$



Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

$\vec n_1\cdot\vec n_2=9+3-12=0$

El plano pedido es $\pi_2:9x-3y-4z-14=0$.

$\textbf{b) Sabiendo que la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ corta el plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{, averigüe el punto de intersección. [1,25 puntos]}$

Escribimos $r$ en paramétricas con el punto y el vector director del apartado anterior, y llevamos su punto genérico a la ecuación del plano.

$r:\begin{cases}x=1+4\lambda\\ y=-3+8\lambda\\ z=1+3\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$(1+4\lambda)-(-3+8\lambda)+3(1+3\lambda)=1+4\lambda+3-8\lambda+3+9\lambda=5\lambda+7$

$5\lambda+7=12\Rightarrow \lambda=1$

Comprobamos el punto en la ecuación del plano:

$5-5+3\cdot 4=12$

La recta $r$ corta al plano $\pi_1$ en el punto $(5,5,4)$.