Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x) = 2x^4 + ax^2 + b$ y $g(x) = -2x^3 + c$.

a) Calcule los valores $a$, $b$ y $c$ de manera que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ cumplan las dos condiciones siguientes: que se corten en el punto $P(1,1)$ y que en dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dé las expresiones de las funciones resultantes. [1,5 puntos]

b) Suponiendo $a = b = 1$ en $f(x)$, halle las asíntotas de la función $h(x) = \dfrac{f(x)}{x^3 - 1}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule los valores } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ de manera que las gráficas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ cumplan las dos condiciones siguientes: que se corten en el punto } \boldsymbol{P(1,1)}\textbf{ y que en dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dé las expresiones de las funciones resultantes. [1,5 puntos]}$

Hay tres parámetros que determinar y el enunciado da tres condiciones: que cada gráfica pase por $P$ —dos condiciones— y que las derivadas coincidan en ese punto.

$f'(x)=8x^{3}+2ax,\qquad g'(x)=-6x^{2}$

De la condición sobre $g$ sale de inmediato uno de los parámetros:

$g(1)=1\Rightarrow -2+c=1\Rightarrow c=3$

La igualdad de pendientes da el segundo:

$f'(1)=g'(1)\Rightarrow 8+2a=-6\Rightarrow 2a=-14\Rightarrow a=-7$

Y con $a$ ya conocido, el paso de $f$ por $P$ da el tercero:

$f(1)=1\Rightarrow 2+a+b=1\Rightarrow 2-7+b=1\Rightarrow b=6$

Las funciones resultantes son $f(x)=2x^{4}-7x^{2}+6$ y $g(x)=-2x^{3}+3$; en el punto $P(1,1)$ ambas valen 1 y sus tangentes tienen pendiente $-6$.

$\textbf{b) Suponiendo } \boldsymbol{a = b = 1}\textbf{ en } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, halle las asíntotas de la función } \boldsymbol{h(x) = \dfrac{f(x)}{x^3 - 1}}\textbf{. [1 punto]}$

$h(x)=\dfrac{2x^{4}+x^{2}+1}{x^{3}-1}$

Asíntotas verticales. Factorizando el denominador, $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$, y el segundo factor no tiene raíces reales, así que la única candidata es $x=1$, donde el numerador vale $4\neq 0$.

$\lim_{x\to 1^{-}}h(x)=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^{+}}h(x)=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty$

$\Rightarrow x=1\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que el límite es infinito y no hay asíntota horizontal; como la diferencia de grados es exactamente 1, sí habrá oblicua.

Asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{h(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{4}+x^{2}+1}{x^{4}-x}=2$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left[h(x)-2x\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{4}+x^{2}+1-2x\left(x^{3}-1\right)}{x^{3}-1}$

$=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{3}-1}=0$

La función $h(x)$ tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=2x$; no tiene asíntota horizontal.