Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El tiempo que transcurre hasta la primera avería de una unidad de cierta marca de impresoras de chorro de tinta viene dado, aproximadamente, por una distribución normal con un promedio de 1500 horas y una desviación típica de 200 horas.

a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? [1,25 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? [1,25 puntos]

Llamamos $X$ al tiempo, en horas, que transcurre hasta la primera avería de una impresora. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(1500,\,200)$

En los dos apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-1500}{200}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? [1,25 puntos]}$

$P(X<1000)=P\left(Z<\dfrac{1000-1500}{200}\right)=P(Z<-2{,}5)$

Como la tabla solo recoge valores positivos, se pasa al simétrico usando que la campana es simétrica respecto del eje de ordenadas.

$P(Z<-2{,}5)=1-\Phi(2{,}5)=1-0{,}9938=0{,}0062$



Solo un $0{,}62\ \%$ de las impresoras falla antes de las 1000 horas de funcionamiento.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? [1,25 puntos]}$

$P(1000<X<2000)=P\left(\dfrac{1000-1500}{200}<Z<\dfrac{2000-1500}{200}\right)=P(-2{,}5<Z<2{,}5)$

El intervalo es simétrico respecto de la media, de modo que el área central se obtiene directamente:

$P(-2{,}5<Z<2{,}5)=2\,\Phi(2{,}5)-1=2\cdot 0{,}9938-1=0{,}9876$



Un $98{,}76\ \%$ de las impresoras tiene su primera avería entre las 1000 y las 2000 horas de uso.