Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Consideremos la función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$, donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Resuelva justificadamente los siguientes apartados:

a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función $f(x)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el valor de la integral $\displaystyle\int_1^e f(x)\,dx$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Al dominio le impone condiciones el logaritmo, que exige argumento estrictamente positivo; esa misma condición deja fuera el valor que anula el denominador.

$\ln x\Rightarrow x>0\Rightarrow \operatorname{Dom}f(x)=(0,+\infty)$

El crecimiento se estudia con el signo de la derivada, que calculamos con la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\cdot x^{2}-\ln x\cdot 2x}{x^{4}}=\dfrac{x-2x\ln x}{x^{4}}=\dfrac{1-2\ln x}{x^{3}}$

$f'(x)=0\Rightarrow 1-2\ln x=0\Rightarrow \ln x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=e^{1/2}=\sqrt{e}\approx 1{,}6487$

En todo el dominio el denominador $x^{3}$ es positivo, de modo que el signo de la derivada lo decide el numerador.

$1-2\ln x>0\Longleftrightarrow \ln x<\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x<\sqrt{e}$



$f\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{\ln\sqrt{e}}{\left(\sqrt{e}\right)^{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{e}=\dfrac{1}{2e}\approx 0{,}1839$

La función tiene por dominio $(0,+\infty)$, es creciente en $\left(0,\sqrt{e}\right)$ y decreciente en $\left(\sqrt{e},+\infty\right)$. Como pasa de creciente a decreciente, tiene un máximo relativo en $\left(\sqrt{e},\dfrac{1}{2e}\right)$ y ningún mínimo.

$\textbf{b) Calcule el valor de la integral } \boldsymbol{\int_1^e f(x)\,dx}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El integrando es el producto de un logaritmo por una potencia, así que se integra por partes tomando como $u$ el logaritmo, que al derivar se simplifica.

$\begin{cases}u=\ln x\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,dx\\ dv=\dfrac{1}{x^{2}}\,dx\Rightarrow v=-\dfrac{1}{x}\end{cases}$

$\int\dfrac{\ln x}{x^{2}}\,dx=-\dfrac{\ln x}{x}+\int\dfrac{1}{x^{2}}\,dx=-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac{1}{x}+C=-\dfrac{\ln x+1}{x}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$\int_1^e\dfrac{\ln x}{x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{\ln x+1}{x}\right]_1^e=-\dfrac{\ln e+1}{e}-\left(-\dfrac{\ln 1+1}{1}\right)$

$=-\dfrac{2}{e}+1=1-\dfrac{2}{e}\approx 0{,}2642$

El valor de la integral es $1-\dfrac{2}{e}\approx 0{,}2642$ unidades de área.