Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0,01 y considerando independencia de sucesos:

a) Determine si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20 %. [1,25 puntos]

b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de arandelas defectuosas de un lote. Cada arandela lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de las demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=0{,}01,\qquad q=1-p=0{,}99$

$\textbf{a) Determine si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20 \%. [1,25 puntos]}$

$X\sim B(20;\,0{,}01)$

Con solo 20 pruebas y una probabilidad tan pequeña no procede aproximar por una normal —de hecho $np=0{,}2<5$—: se aplica directamente la fórmula de la binomial. Los dos sucesos son incompatibles, así que sus probabilidades se suman.

$P(X=1)=\binom{20}{1}\,0{,}01^{1}\cdot 0{,}99^{19}=20\cdot 0{,}01\cdot 0{,}8262\approx 0{,}1652$

$P(X=2)=\binom{20}{2}\,0{,}01^{2}\cdot 0{,}99^{18}=190\cdot 0{,}0001\cdot 0{,}8345\approx 0{,}0159$

$P(X=1)+P(X=2)=0{,}1652+0{,}0159=0{,}1811$

La probabilidad de encontrar 1 o 2 arandelas defectuosas en un lote es del $18{,}11\ \%$, que no llega al $20\ \%$: la respuesta es negativa.

$\textbf{b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote? [0,75 puntos]}$

Que haya al menos una defectuosa reúne veinte valores distintos de la variable, así que sale mucho más corto pasar al suceso contrario: que no haya ninguna.

$P(X=0)=\binom{20}{0}\,0{,}01^{0}\cdot 0{,}99^{20}=0{,}99^{20}\approx 0{,}8179$

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-0{,}8179=0{,}1821$

La probabilidad de rechazar un lote es $0{,}1821$, es decir, un $18{,}21\ \%$: se rechaza aproximadamente uno de cada cinco lotes.

$\textbf{c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas? [0,5 puntos]}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario, cuya probabilidad es $q=0{,}99$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad.

$\mu=nq=200\cdot 0{,}99=198$

En un lote de 200 arandelas cabe esperar que 198 salgan sin defectos.