Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dado el plano $\pi: -x + 3y + 2z + 5 = 0$ y las rectas secantes $r: \dfrac{x-5}{2} = y + 2 = 1 - z$ y $s: \dfrac{x+1}{6} = \dfrac{y}{-2} = z$

a) Sea $A$ el punto de intersección de las rectas $r$ y $s$. Halle la ecuación de la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $A$. [1,5 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\textbf{a) Sea } \boldsymbol{A}\textbf{ el punto de intersección de las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. Halle la ecuación de la recta que es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Escribimos las dos rectas en paramétricas y buscamos los valores de los parámetros que hacen coincidir sus puntos genéricos; el enunciado ya avisa de que son secantes, así que el sistema tendrá solución.

$r:\begin{cases}x=5+2\lambda\\ y=-2+\lambda\\ z=1-\lambda\end{cases}\qquad s:\begin{cases}x=-1+6\mu\\ y=-2\mu\\ z=\mu\end{cases}$

De la tercera coordenada, $\mu=1-\lambda$; llevándolo a la segunda:

$-2+\lambda=-2(1-\lambda)\Rightarrow -2+\lambda=-2+2\lambda\Rightarrow \lambda=0$

$\mu=1-0=1$

Comprobamos la primera coordenada con esos valores:

$5+2\cdot 0=5;\qquad -1+6\cdot 1=5$

$A(5,-2,1)$

La recta buscada pasa por $A$ y, por ser perpendicular al plano, tiene como vector director el normal de $\pi$.

$\vec n_{\pi}=(-1,3,2)$

$t:\begin{cases}x=5-\nu\\ y=-2+3\nu\\ z=1+2\nu\end{cases}\quad \nu\in\mathbb{R}$

La recta perpendicular a $\pi$ por el punto de corte de $r$ y $s$ pasa por $A(5,-2,1)$ y tiene vector director $(-1,3,2)$.

$\textbf{b) Calcule el ángulo que forman las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo que forman dos rectas secantes es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar.











$\vec v_r=(2,1,-1),\qquad \vec v_s=(6,-2,1)$

$\cos\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec v_s\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec v_s\right|}$

$=\dfrac{|12-2-1|}{\sqrt{4+1+1}\cdot\sqrt{36+4+1}}=\dfrac{9}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{41}}$

$=\dfrac{9}{\sqrt{246}}\approx 0{,}5738$

$\alpha=\arccos(0{,}5738)\approx 54^{\circ}\,58'\,59''$





Las rectas $r$ y $s$ se cortan en $A$ formando un ángulo de, aproximadamente, $54^{\circ}\,59'$.