Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dadas las siguientes ecuaciones en el espacio tridimensional:

$r: 5 - x = y - 3 = 5 - z \qquad\qquad \pi: 3x - 4y - 8z + 35 = 0$

a) Compruebe que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto. Averigüe dicho punto. [1,5 puntos]

b) Calcule la ecuación del plano que pasa por el punto $A(2,2,2)$, paralelo a la recta $r$, y perpendicular al plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Compruebe que la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ se cortan en un punto. Averigüe dicho punto. [1,5 puntos]}$

Una recta y un plano se cortan en un único punto cuando el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Escribimos primero $r$ en paramétricas, igualando a un parámetro las tres expresiones de su forma continua.

$5-x=y-3=5-z=t\Rightarrow r:\begin{cases}x=5-t\\ y=3+t\\ z=5-t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}$

$\vec v_r=(-1,1,-1),\qquad \vec n_{\pi}=(3,-4,-8)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=-3-4+8=1\neq 0$

Luego la recta y el plano son secantes. Llevamos el punto genérico de $r$ a la ecuación del plano.

$3(5-t)-4(3+t)-8(5-t)+35=15-3t-12-4t-40+8t+35=t-2$

$t-2=0\Rightarrow t=2$



Comprobamos el punto en la ecuación del plano:

$3\cdot 3-4\cdot 5-8\cdot 3+35=9-20-24+35=0$

La recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en el punto $(3,5,3)$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación del plano que pasa por el punto } \boldsymbol{A(2,2,2)}\textbf{, paralelo a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{, y perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Ser paralelo a $r$ significa contener su dirección; ser perpendicular a $\pi$ significa contener la dirección del vector normal de $\pi$. Esos son, por tanto, los dos vectores directores del plano buscado, y su producto vectorial da el vector normal.

$\vec n=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -1 & 1 & -1\\ 3 & -4 & -8\end{vmatrix}=(-12,-11,1)$

$\sigma:-12x-11y+z+D=0$

$A(2,2,2)\in\sigma\Rightarrow -24-22+2+D=0\Rightarrow D=44$

Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

$\vec n\cdot\vec n_{\pi}=-36+44-8=0$

El plano pedido es $\sigma:-12x-11y+z+44=0$, o equivalentemente $12x+11y-z-44=0$.