Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + a}{2x - 4} & x \le 0 \\[10pt] 10x^2 + x + b & x > 0 \end{cases}$

calcule los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Dé las expresiones de la función $f(x)$ y de su derivada $f'(x)$. [2,5 puntos]

Cada rama es continua y derivable en su intervalo: la segunda es un polinomio y la primera un cociente cuyo denominador solo se anula en $x=2$, valor que queda fuera del tramo $x\le 0$. El único punto conflictivo es el de empalme, $x=0$, y allí se impone primero la continuidad y después la derivabilidad.

Para la continuidad se comparan el valor de la función y sus dos límites laterales.

$f(0)=\dfrac{0^{2}+a}{2\cdot 0-4}=\dfrac{a}{-4}=-\dfrac{a}{4}$

$\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(10x^{2}+x+b\right)=b$

$-\dfrac{a}{4}=b$

Para la derivabilidad se calculan las derivadas laterales y se obliga a que coincidan.

$f'(x)=\dfrac{2x\,(2x-4)-\left(x^{2}+a\right)\cdot 2}{(2x-4)^{2}}\quad \text{si } x<0$

$f'(0^{-})=\dfrac{0-2a}{(-4)^{2}}=\dfrac{-2a}{16}=-\dfrac{a}{8}$

$f'(0^{+})=\left[20x+1\right]_{x=0}=1$

$-\dfrac{a}{8}=1\Rightarrow a=-8$

$b=-\dfrac{a}{4}=-\dfrac{-8}{4}=2$

Con esos valores la función queda:

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-8}{2x-4} & \text{si } x\le 0\\ 10x^{2}+x+2 & \text{si } x>0\end{cases}$

Y su derivada, simplificando la primera rama:

$\dfrac{2x\,(2x-4)-2\left(x^{2}-8\right)}{(2x-4)^{2}}=\dfrac{4x^{2}-8x-2x^{2}+16}{4(x-2)^{2}}=\dfrac{x^{2}-4x+8}{2(x-2)^{2}}$

$f'(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-4x+8}{2(x-2)^{2}} & \text{si } x\le 0\\ 20x+1 & \text{si } x>0\end{cases}$

Los parámetros que hacen la función continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ son $a=-8$ y $b=2$; en el punto de empalme las dos ramas de la derivada valen 1, como debía ocurrir.