Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Se ha comprobado que, al aplicar un determinado medicamento, la probabilidad de que elimine el acné a un paciente es del 80 %. Suponiendo independencia de sucesos:

a) Si se lo toman 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe con más de 75 pacientes? [1 punto]

b) Si se lo toman 225 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe entre 170 y 190 pacientes? [1 punto]

c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné si se toman el medicamento 500 pacientes? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de pacientes en los que el medicamento elimina el acné. Cada paciente responde o no responde al tratamiento, siempre con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=0{,}80,\qquad q=1-p=0{,}20$

En los dos primeros apartados el número de pacientes es grande y se cumplen $np>5$ y $nq>5$, así que la binomial se aproxima por una normal de la misma media y la misma desviación típica, con la correspondiente corrección por continuidad.

$\textbf{a) Si se lo toman 100 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe con más de 75 pacientes? [1 punto]}$

$X\sim B(100;\,0{,}80)$

$\mu=np=100\cdot 0{,}80=80$

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot 0{,}80\cdot 0{,}20}=\sqrt{16}=4$

Más de 75 pacientes significa 76 o más.

$P(X\ge 76)\approx P(X'>75{,}5)=P\left(Z>\dfrac{75{,}5-80}{4}\right)=P(Z>-1{,}13)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área que queda a la derecha de $-1{,}13$ es la misma que la que queda a la izquierda de $1{,}13$:

$P(Z>-1{,}13)=P(Z<1{,}13)=\Phi(1{,}13)=0{,}8708$



La probabilidad de que el medicamento actúe con más de 75 de los 100 pacientes es $0{,}8708$, es decir, un $87{,}08\ \%$.

$\textbf{b) Si se lo toman 225 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que el medicamento actúe entre 170 y 190 pacientes? [1 punto]}$

$X\sim B(225;\,0{,}80)$

$\mu=225\cdot 0{,}80=180$

$\sigma=\sqrt{225\cdot 0{,}80\cdot 0{,}20}=\sqrt{36}=6$

$P(170\le X\le 190)\approx P(169{,}5<X'<190{,}5)$

$=P\left(\dfrac{169{,}5-180}{6}<Z<\dfrac{190{,}5-180}{6}\right)=P(-1{,}75<Z<1{,}75)$

El intervalo es simétrico respecto de la media, así que el área central se obtiene directamente:

$P(-1{,}75<Z<1{,}75)=2\,\Phi(1{,}75)-1=2\cdot 0{,}9599-1=0{,}9198$



La probabilidad de que el medicamento actúe entre 170 y 190 de los 225 pacientes es $0{,}9198$, es decir, un $91{,}98\ \%$.

$\textbf{c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné si se toman el medicamento 500 pacientes? [0,5 puntos]}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario, cuya probabilidad es $q=0{,}20$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad. No hace falta ninguna aproximación.

$\mu=nq=500\cdot 0{,}20=100$

De 500 pacientes que tomen el medicamento cabe esperar que en 100 de ellos no se elimine el acné.