Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un granjero compra un determinado mes 274 € de pienso para su ganado. Con ese dinero obtiene un total de 66 sacos de pienso de tres marcas diferentes: A, B y C. Se sabe que el precio de cada marca de pienso que ha comprado es de 5 €, 4 € y 4 €, respectivamente. También se sabe que el número de sacos adquiridos de la marca C es el doble que el total de sacos comprados de las marcas A y B juntos. Averigüe la cantidad de sacos que el granjero ha comprado de cada una de las tres marcas. [2,5 puntos]

Se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x \equiv$ sacos comprados de la marca A

$y \equiv$ sacos comprados de la marca B

$z \equiv$ sacos comprados de la marca C

La primera condición es el total de sacos, la segunda el dinero gastado y la tercera la relación entre las cantidades.

$\begin{cases}x+y+z=66\\ 5x+4y+4z=274\\ z=2(x+y)\end{cases}$

La tercera ecuación, combinada con la primera, resuelve de golpe una incógnita: si $z=2(x+y)$, entonces $x+y=\dfrac{z}{2}$ y

$\dfrac{z}{2}+z=66\Rightarrow \dfrac{3z}{2}=66\Rightarrow z=44$

$x+y=66-44=22$

Llevamos ambos resultados a la ecuación del dinero, escrita como $5x+4(y+z)=274$:

$5x+4(22-x+44)=274\Rightarrow 5x+4(66-x)=274$

$5x+264-4x=274\Rightarrow x=10$

$y=22-10=12$

Comprobamos el gasto total:

$5\cdot 10+4\cdot 12+4\cdot 44=50+48+176=274$

El granjero ha comprado 10 sacos de la marca A, 12 de la marca B y 44 de la marca C.