Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 - 2}{b - x}$, donde $a$ y $b$ son dos parámetros con valores reales.

a) Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$ que verifican que $f(-2) = 2$ y que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R} - \{5\}$. Escriba la función resultante $f(x)$ y calcule su derivada $f'(x)$. [1,25 puntos]

b) Halle las ecuaciones de las asíntotas de la función $f(x)$ si los parámetros toman los valores $a = -1$ y $b = -3$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ que verifican que } \boldsymbol{f(-2) = 2}\textbf{ y que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{\mathbb{R} - \{5\}}\textbf{. Escriba la función resultante } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y calcule su derivada } \boldsymbol{f'(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, así que su único punto de discontinuidad es el que anula el denominador. Que sea continua exactamente en $\mathbb{R}-\{5\}$ obliga a que ese punto sea $x=5$, y eso determina $b$.

$b-x=0\Rightarrow x=b\Rightarrow b=5$

Con $b$ ya conocido, la segunda condición da el valor de $a$.

$f(-2)=\dfrac{a(-2)^{2}-2}{5-(-2)}=\dfrac{4a-2}{7}=2$

$4a-2=14\Rightarrow 4a=16\Rightarrow a=4$

$f(x)=\dfrac{4x^{2}-2}{5-x}$

Derivamos con la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{8x\,(5-x)-\left(4x^{2}-2\right)\cdot(-1)}{(5-x)^{2}}=\dfrac{40x-8x^{2}+4x^{2}-2}{(5-x)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{-4x^{2}+40x-2}{(5-x)^{2}}$

Los parámetros valen $a=4$ y $b=5$.

$\textbf{b) Halle las ecuaciones de las asíntotas de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ si los parámetros toman los valores } \boldsymbol{a = -1}\textbf{ y } \boldsymbol{b = -3}\textbf{. [1,25 puntos]}$

$f(x)=\dfrac{-x^{2}-2}{-3-x}=\dfrac{x^{2}+2}{x+3}$

Asíntotas verticales. La única candidata es el valor que anula el denominador, $x=-3$, donde el numerador vale $11\neq 0$.

$\lim_{x\to -3^{-}}\dfrac{x^{2}+2}{x+3}=\dfrac{11}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to -3^{+}}\dfrac{x^{2}+2}{x+3}=\dfrac{11}{0^{+}}=+\infty$

$\Rightarrow x=-3\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, de modo que el límite es infinito y no hay asíntota horizontal, pero sí la habrá oblicua.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x+3}=\pm\infty$

Asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2}{x^{2}+3x}=1$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-mx\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+2-x(x+3)}{x+3}=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2-3x}{x+3}=-3$

El mismo resultado se obtiene efectuando la división de los polinomios, que deja el cociente y un resto que tiende a cero:

$\dfrac{x^{2}+2}{x+3}=x-3+\dfrac{11}{x+3}$

La función tiene una asíntota vertical, $x=-3$, y una asíntota oblicua, $y=x-3$; no tiene asíntota horizontal.