Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Una prueba, utilizada para determinar la presencia de plomo en una aleación de acero, es errónea en 8 de cada 100 análisis realizados.

a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? [1 punto]

b) Compruebe si es cierta la siguiente afirmación: «En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5 % de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos». [1 punto]

c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de análisis erróneos. Cada análisis lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de los demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=\dfrac{8}{100}=0{,}08,\qquad q=1-p=0{,}92$

$\textbf{a) Se realizan 10 análisis con esta prueba, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de estos análisis sean erróneos? [1 punto]}$

$X\sim B(10;\,0{,}08)$

Con solo 10 pruebas no procede aproximar por una normal: se aplica directamente la fórmula de la binomial.

$P(X=3)=\binom{10}{3}\,0{,}08^{3}\cdot 0{,}92^{7}=120\cdot 0{,}000512\cdot 0{,}5578\approx 0{,}0343$

La probabilidad de que exactamente 3 de los 10 análisis sean erróneos es $0{,}0343$, es decir, un $3{,}43\ \%$.

$\textbf{b) Compruebe si es cierta la siguiente afirmación: «En 10 análisis realizados con esta prueba, hay menos de un 5 \% de posibilidades de encontrar más de dos análisis erróneos». [1 punto]}$

Que haya más de dos análisis erróneos reúne ocho valores distintos de la variable, de 3 a 10, así que sale mucho más corto pasar al suceso contrario: que haya dos o menos.

$P(X=0)=\binom{10}{0}\,0{,}08^{0}\cdot 0{,}92^{10}=0{,}92^{10}\approx 0{,}4344$

$P(X=1)=\binom{10}{1}\,0{,}08^{1}\cdot 0{,}92^{9}=10\cdot 0{,}08\cdot 0{,}4722\approx 0{,}3777$

$P(X=2)=\binom{10}{2}\,0{,}08^{2}\cdot 0{,}92^{8}=45\cdot 0{,}0064\cdot 0{,}5132\approx 0{,}1478$

$P(X\le 2)=0{,}4344+0{,}3777+0{,}1478\approx 0{,}9599$

$P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-0{,}9599=0{,}0401$

La probabilidad de encontrar más de dos análisis erróneos es del $4{,}01\ \%$, que no llega al $5\ \%$. La afirmación es, por tanto, cierta.

$\textbf{c) Si se realizan 100 análisis con esta prueba, ¿cuál es el número esperado de análisis correctos? [0,5 puntos]}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario del anterior, cuya probabilidad es $q=0{,}92$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad.

$\mu=nq=100\cdot 0{,}92=92$

De 100 análisis realizados con esta prueba cabe esperar que 92 sean correctos.