Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

En el espacio tridimensional se conocen las ecuaciones de la recta y el plano siguientes:

$r \equiv \begin{cases} -3x + 2y = 5 \\ -4y + 3z + 7 = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad \pi \equiv 5x - 6y + 7z + 58 = 0$

a) Sabiendo que la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan en un punto $A$, dé la ecuación de la recta $s$, perpendicular al plano $\pi$, que pasa por dicho punto $A$. [1,5 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$. [1 punto]

$\textbf{a) Sabiendo que la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ se cortan en un punto } \boldsymbol{A}\textbf{, dé la ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{, perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{, que pasa por dicho punto } \boldsymbol{A}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La recta $s$ queda determinada por dos datos: su dirección, que por ser perpendicular al plano es el vector normal de $\pi$, y el punto $A$, que hay que calcular como intersección de $r$ con $\pi$.

Empezamos escribiendo $r$ en paramétricas. Su vector director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ -3 & 2 & 0\\ 0 & -4 & 3\end{vmatrix}=(6,9,12)$

Dividiendo entre 3, $\vec v_r=(2,3,4)$. Para un punto de $r$ tomamos $x=1$: de la primera ecuación $y=4$ y de la segunda $z=3$.

$P_r(1,4,3):\quad -3+8=5;\qquad -16+9+7=0$

$r:\begin{cases}x=1+2\lambda\\ y=4+3\lambda\\ z=3+4\lambda\end{cases}\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$5(1+2\lambda)-6(4+3\lambda)+7(3+4\lambda)+58=5+10\lambda-24-18\lambda+21+28\lambda+58$

$=20\lambda+60=0\Rightarrow \lambda=-3$

$A(-5,-5,-9)$











Comprobamos que $A$ está en el plano:

$5(-5)-6(-5)+7(-9)+58=-25+30-63+58=0$

Con el punto $A$ y el vector normal $\vec n_{\pi}=(5,-6,7)$ como director:

$s:\begin{cases}x=-5+5\mu\\ y=-5-6\mu\\ z=-9+7\mu\end{cases}\quad \mu\in\mathbb{R}$





La recta perpendicular al plano por el punto de corte es la que pasa por $A(-5,-5,-9)$ con vector director $(5,-6,7)$.

$\textbf{b) Calcule el ángulo que forman la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que el producto escalar de esos dos vectores da directamente su seno.

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_r\right|\left|\vec n_{\pi}\right|}=\dfrac{|10-18+28|}{\sqrt{4+9+16}\cdot\sqrt{25+36+49}}=\dfrac{20}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{110}}$

$=\dfrac{20}{\sqrt{3190}}\approx 0{,}3541$

$\alpha=\operatorname{arcsen}(0{,}3541)\approx 20^{\circ}\,44'\,19''$

La recta $r$ y el plano $\pi$ forman un ángulo de, aproximadamente, $20^{\circ}\,44'$.