Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Resuelva los siguientes problemas del espacio tridimensional:

a) Dadas las rectas $r: \begin{cases} x + y + z + 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 2 = 0 \end{cases}$ y $s: \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 - 3\lambda \end{cases}$, estudie la posición relativa entre $r$ y $s$. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa entre } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Se comparan primero los vectores directores y, si no son proporcionales, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan.

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 3\end{vmatrix}=(4,-1,-3),\qquad \vec v_s=(2,1,-3)$

No son proporcionales, pues $\dfrac{4}{2}\neq\dfrac{-1}{1}$, luego las rectas no son paralelas.

Un punto de $r$ se obtiene haciendo $z=0$ en sus dos ecuaciones:

$\begin{cases}x+y=-1\\ 2x-y=2\end{cases}\Rightarrow x=\dfrac{1}{3},\ y=-\dfrac{4}{3}\Rightarrow P_r\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3},0\right)$

De $s$, en paramétricas, se lee $P_s(-1,1,-1)$.

$\overrightarrow{P_rP_s}=(-1,1,-1)-\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3},0\right)=\left(-\dfrac{4}{3},\dfrac{7}{3},-1\right)$

$\begin{vmatrix}4 & -1 & -3\\ 2 & 1 & -3\\ -\dfrac{4}{3} & \dfrac{7}{3} & -1\end{vmatrix}=0$

El producto mixto se anula y los directores no son proporcionales, de modo que las rectas $r$ y $s$ son secantes: se cortan en un punto. Lo calculamos igualando los puntos genéricos de ambas.

$r:\left(\dfrac{1}{3}+4t,\,-\dfrac{4}{3}-t,\,-3t\right),\qquad s:(-1+2\lambda,\,1+\lambda,\,-1-3\lambda)$

$-1-3\lambda=-3t\Rightarrow t=\dfrac{1+3\lambda}{3}$

$1+\lambda=-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1+3\lambda}{3}\Rightarrow 3+3\lambda=-4-1-3\lambda\Rightarrow 6\lambda=-8\Rightarrow \lambda=-\dfrac{4}{3}$

Las rectas se cortan en el punto $\left(-\dfrac{11}{3},-\dfrac{1}{3},3\right)$.

$\textbf{b) Halle la ecuación del plano que contiene a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi: 2x - y + z - 5 = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Que el plano buscado sea perpendicular a $\pi$ equivale a que contenga la dirección del vector normal de $\pi$. Junto con el director de $r$, esos son sus dos vectores directores, y su producto vectorial da el normal del plano pedido.

$\vec n=\vec v_r\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & -1 & -3\\ 2 & -1 & 1\end{vmatrix}=(-4,-10,-2)$

Dividiendo entre $-2$, $\vec n=(2,5,1)$.

$\sigma:2x+5y+z+D=0$

$P_r\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3},0\right)\in\sigma\Rightarrow \dfrac{2}{3}-\dfrac{20}{3}+0+D=0\Rightarrow D=6$



Comprobamos la perpendicularidad de los dos planos, que se traduce en que sus normales sean ortogonales:

$\vec n\cdot\vec n_{\pi}=2\cdot 2+5\cdot(-1)+1\cdot 1=4-5+1=0$

El plano pedido es $\sigma:2x+5y+z+6=0$.