Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} 2x + 6y + kz = 0 \\ kx + 4y + 2z = 2 \\ kx + 6y + 2z = k - 2 \end{cases}$

a) Discuta la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando el parámetro $k$ toma el valor $k = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}2 & 6 & k\\ k & 4 & 2\\ k & 6 & 2\end{pmatrix},\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 6 & k & 0\\ k & 4 & 2 & 2\\ k & 6 & 2 & k-2\end{array}\right)$

$|A|=16+12k+6k^{2}-\left(4k^{2}+24+12k\right)=2k^{2}-8=2(k-2)(k+2)$

$|A|=0\Rightarrow \begin{cases}k=2\\ k=-2\end{cases}$

Si $k\neq 2$ y $k\neq -2$, entonces $\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{nº de incógnitas}$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=2$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 6 & 2 & 0\\ 2 & 4 & 2 & 2\\ 2 & 6 & 2 & 0\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, término independiente incluido, así que la tercera ecuación es superflua y las dos matrices tienen el mismo rango.

$\begin{vmatrix}2 & 6\\ 2 & 4\end{vmatrix}=8-12=-4\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3$

y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=-2$:

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 6 & -2 & 0\\ -2 & 4 & 2 & 2\\ -2 & 6 & 2 & -4\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}2 & 6\\ -2 & 4\end{vmatrix}=8+12=20\neq 0\Rightarrow \operatorname{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}2 & 6 & 0\\ -2 & 4 & 2\\ -2 & 6 & -4\end{vmatrix}=-32-24+0-\left(0+24+48\right)=-128\neq 0$

$\operatorname{ran}(A)=2\neq 3=\operatorname{ran}(A^{*})\Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de 2 y de $-2$, compatible indeterminado para $k=2$ e incompatible para $k=-2$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema cuando el parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{ toma el valor } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Como $0\neq 2$ y $0\neq -2$, el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}2x+6y=0\\ 4y+2z=2\\ 6y+2z=-2\end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la tercera desaparece $z$:

$(6y+2z)-(4y+2z)=-2-2\Rightarrow 2y=-4\Rightarrow y=-2$

$4(-2)+2z=2\Rightarrow 2z=10\Rightarrow z=5$

$2x+6(-2)=0\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$

Comprobamos en la tercera ecuación:

$6(-2)+2\cdot 5=-12+10=-2$

Para $k=0$ la solución del sistema es $x=6$, $y=-2$, $z=5$.