Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Considere las siguientes funciones: $y = 3x - x^2$; $y = x - 3$

a) Represente el recinto que encierran las dos funciones anteriores. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por las funciones anteriores. [1 punto]

$\textbf{a) Represente el recinto que encierran las dos funciones anteriores. [1,5 puntos]}$

Se estudia primero cada curva por separado y a continuación se calculan sus puntos de corte, que son los que delimitan la región.

La primera, $y=3x-x^{2}=x(3-x)$, es una parábola con el coeficiente principal negativo, luego sus ramas van hacia abajo. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor:

$x(3-x)=0\Rightarrow \begin{cases}x=0\\ x=3\end{cases}$

$x_V=\dfrac{-3}{2\cdot(-1)}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow V\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4}\right)$

La segunda, $y=x-3$, es una recta que pasa por $(3,0)$ y $(0,-3)$.

Igualamos las dos ecuaciones para hallar los puntos de corte:

$3x-x^{2}=x-3\Rightarrow x^{2}-2x-3=0$

$x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}\Rightarrow \begin{cases}x=-1\\ x=3\end{cases}$

$x=-1\Rightarrow y=-4;\qquad x=3\Rightarrow y=0$

Para saber cuál de las dos queda por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si } x=0:\quad 3\cdot 0-0^{2}=0>0-3=-3$



El recinto está limitado por arriba por la parábola $y=3x-x^{2}$ y por abajo por la recta $y=x-3$, entre las abscisas $x=-1$ y $x=3$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto limitado por las funciones anteriores. [1 punto]}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los puntos de corte la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando después la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{3}\left[\left(3x-x^{2}\right)-(x-3)\right]dx=\int_{-1}^{3}\left(-x^{2}+2x+3\right)dx$

$=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x\right]_{-1}^{3}$

$=(-9+9+9)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right)=9-\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{27+5}{3}=\dfrac{32}{3}$

El área del recinto es $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ unidades de área.