Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2022

Resuelva los siguientes apartados:

a) Considere la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Calcule los coeficientes $a$, $b$, $c$ y $d$, sabiendo que $f$ tiene un extremo relativo en el punto $P(0,1)$ y su gráfica tiene un punto de inflexión $Q(1,-1)$. Dé la expresión de la función $f(x)$. [1,75 puntos]

b) Resuelva el siguiente límite: $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}$ [0,75 puntos]

$\textbf{a) Considere la función } \boldsymbol{f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d}\textbf{. Calcule los coeficientes } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{, } \boldsymbol{c}\textbf{ y } \boldsymbol{d}\textbf{, sabiendo que } \boldsymbol{f}\textbf{ tiene un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{P(0,1)}\textbf{ y su gráfica tiene un punto de inflexión } \boldsymbol{Q(1,-1)}\textbf{. Dé la expresión de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Hay cuatro coeficientes que determinar, así que hacen falta cuatro condiciones. Cada punto aporta dos: que la gráfica pase por él y la propiedad que se le atribuye —derivada nula en el extremo relativo, segunda derivada nula en el punto de inflexión—.

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

$f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$

$f''(x)=6ax+2b$

De las dos condiciones en $P(0,1)$ se despejan de golpe dos coeficientes:

$f(0)=1\Rightarrow d=1$

$f'(0)=0\Rightarrow c=0$

Y de las dos condiciones en $Q(1,-1)$:

$f''(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$

$f(1)=-1\Rightarrow a+b+c+d=-1\Rightarrow a+b+1=-1\Rightarrow a+b=-2$

$a+(-3a)=-2\Rightarrow -2a=-2\Rightarrow a=1\Rightarrow b=-3$

Comprobamos que en $x=0$ hay efectivamente un extremo relativo y no un punto de inflexión con tangente horizontal:

$f''(0)=6\cdot 1\cdot 0+2\cdot(-3)=-6\neq 0$

La función pedida es $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$, que tiene un máximo relativo en $P(0,1)$ y un punto de inflexión en $Q(1,-1)$.

$\textbf{b) Resuelva el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{1 - \cos x}}\textbf{ [0,75 puntos]}$

Al sustituir aparece una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, ya que $e^{0}+e^{0}-2=0$ y $1-\cos 0=0$. Se aplica la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+e^{-x}-2}{1-\cos x}\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}x}$

Vuelve a salir $\frac{0}{0}$, de modo que se aplica L'Hôpital una segunda vez.

$\stackrel{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{\cos x}=\dfrac{1+1}{1}=2$

El límite pedido vale 2.