Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El número de ventas diarias de periódicos en un quiosco se distribuye como una distribución normal de media 30 periódicos y desviación típica $\sqrt{2}$. Determine:

a) La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos. [1 punto]

b) Justifique si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,1. [0,75 puntos]

c) El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80 % de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifíquelo. [0,75 puntos]

Llamamos $X$ al número de periódicos vendidos en un día. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu,\sigma)=N\left(30,\,\sqrt{2}\right)$

En los tres apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-30}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$

$\textbf{a) La probabilidad de que en un día se vendan entre 28 y 31 periódicos. [1 punto]}$

$P(28<X<31)=P\left(\dfrac{28-30}{\sqrt{2}}<Z<\dfrac{31-30}{\sqrt{2}}\right)=P(-1{,}41<Z<0{,}71)$

$=\Phi(0{,}71)-\Phi(-1{,}41)=\Phi(0{,}71)-\left[1-\Phi(1{,}41)\right]$

$=0{,}7611-(1-0{,}9207)=0{,}7611-0{,}0793=0{,}6818$



La probabilidad de vender entre 28 y 31 periódicos en un día es $0{,}6818$, es decir, un $68{,}18\ \%$.

$\textbf{b) Justifique si es cierto que la probabilidad de vender más de 32 periódicos es menor que 0,1. [0,75 puntos]}$

$P(X>32)=P\left(Z>\dfrac{32-30}{\sqrt{2}}\right)=P(Z>1{,}41)$

$=1-\Phi(1{,}41)=1-0{,}9207=0{,}0793$



Como $0{,}0793<0{,}1$, la afirmación es cierta: la probabilidad de vender más de 32 periódicos en un día no llega al $10\ \%$.

$\textbf{c) El dueño del quiosco considera que su puesto está situado en una buena zona, ya que sabe que hay más de un 80 \% de posibilidades de vender más de 29 periódicos diarios. ¿Está en lo cierto? Justifíquelo. [0,75 puntos]}$

$P(X>29)=P\left(Z>\dfrac{29-30}{\sqrt{2}}\right)=P(Z>-0{,}71)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, el área que queda a la derecha de $-0{,}71$ es la misma que la que queda a la izquierda de $0{,}71$:

$P(Z>-0{,}71)=P(Z<0{,}71)=\Phi(0{,}71)=0{,}7611$



La probabilidad de vender más de 29 periódicos diarios es del $76{,}11\ \%$, que no llega al $80\ \%$. El dueño del quiosco no está en lo cierto.